Considere um bloco de massa m que é abandonado em um plano inclinado de um ângulo \theta com a direção horizontal. Sabendo que o bloco percorre uma distância L até atingir a base do plano e que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é \mu_{c}, calcule o trabalho realizado por cada uma das forças que atuam no bloco entre o instante em que é abandonado e aquele em que chega ao fim do plano. Com que velocidade ele atinge o fim do plano inclinado?

Passo 1

O problema pede duas coisas principais:
  • Calcular o trabalho realizado por cada força que age sobre o bloco enquanto ele se desloca do topo até a base do plano inclinado.
  • Determinar a velocidade com que o bloco atinge o fim do plano.
Informações dadas:
  • Massa do bloco: m.
  • Inclinação do plano em relação à horizontal: \theta.
  • Comprimento do deslocamento ao longo do plano até a base: L.
  • Coeficiente de atrito cinético: \mu_{c}.
  • O bloco é abandonado a partir do repouso no topo (velocidade inicial zero).
  • Forças que atuam (conforme figura): peso \vec{P} (vertical para baixo), força normal \vec{N} (perpendicular ao plano) e força de atrito cinético \vec{F}_{at} (tangencial, oposta ao movimento).

Passo 2

Conceito de trabalho que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Trabalho de uma força constante \vec{F} ao longo de um deslocamento \vec{d} é
W = \vec{F}\cdot\vec{d} = F\,d\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \vec{F} e \vec{d}.
  • Se \varphi=0^\circ (força paralela e no mesmo sentido do deslocamento), então W=Fd (positivo).
  • Se \varphi=180^\circ (força antiparalela), então W=-Fd (negativo).
  • Se \varphi=90^\circ (força perpendicular), então W=0.
Também usaremos o Teorema do Trabalho-Energia cinética:
W_{\text{líquido}} = \Delta K = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{1}{2}m v_0^2.í
Como v_0=0 (partiu do repouso), fica
\frac{1}{2}m v^2 = W_{\text{líquido}}.í

Passo 3

Trabalho da força peso \vec{P}.
  • Geometricamente, ao descer o plano de comprimento L o bloco desce verticalmente uma altura
h = L\sin\theta.
(Eu peguei essa relação do triângulo retângulo formado pelo plano inclinado e a vertical.)
  • O trabalho da gravidade é igual ao ganho de energia cinética que viria da perda de energia potencial, ou diretamente:
W_{P} = m g h = m g L \sin\theta.
Explicação do sinal: a gravidade puxa na direção do deslocamento (tem componente na direção do deslocamento), portanto faz trabalho positivo. Resultado:
\boxed{W_{P} = m g L \sin\theta.}

Passo 4

Força normal \vec{N} e seu trabalho.
  • A força normal é perpendicular ao plano. O deslocamento é ao longo do plano. Então o ângulo entre \vec{N} e o deslocamento é 90^\circ.
  • Pelo conceito de trabalho,
W_{N} = N\cdot L\cos 90^\circ = 0.
  • Para informação adicional (útil para calcular atrito): a intensidade de \vec{N} obtém-se equilibrando as forças na direção perpendicular ao plano (não há aceleração nessa direção), ou seja
N = m g \cos\theta.
Mas mesmo conhecendo N, o trabalho da normal continua sendo zero porque é perpendicular ao deslocamento.
\boxed{W_{N} = 0.}

Passo 5

Trabalho da força de atrito cinético \vec{F}_{at}.
  • Módulo da força de atrito cinético:
F_{at} = \mu_{c} N = \mu_{c} m g \cos\theta,
usando N = m g \cos\theta que encontramos antes.
  • A direção do atrito é contrária ao movimento ao longo do plano, então o ângulo entre \vec{F}_{at} e o deslocamento é 180^\circ. Assim o trabalho é negativo:
W_{at} = -F_{at}\,L = -\mu_{c} m g \cos\theta \, L.
Explicando o sinal: o atrito retira energia do sistema (converte em calor), por isso trabalho negativo.
\boxed{W_{at} = -\mu_{c} m g L \cos\theta.}

Passo 6

Trabalho total (líquido) sobre o bloco.
  • Soma dos trabalhos das forças: peso + normal + atrito:
W_{\text{líquido}} = W_{P} + W_{N} + W_{at}.í
  • Substituindo os resultados:
W_{\text{líquido}} = m g L \sin\theta + 0 - \mu_{c} m g L \cos\thetaí
W_{\text{líquido}} = m g L\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr).í

Passo 7

Velocidade final usando o Teorema do Trabalho-Energia.
  • Começamos do teorema
\frac{1}{2}m v^2 = W_{\text{líquido}}.í
  • Substituindo W_{\text{líquido}}í:
\frac{1}{2}m v^2 = m g L\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr).
  • Cancelando m (não nulo) e isolando v:
\frac{1}{2} v^2 = g L\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr)
v^2 = 2 g L\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr)
\boxed{v = \sqrt{2 g L\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr)}.}
  • Observação física importante: a expressão sob a raiz precisa ser não negativa para que a velocidade real exista. Ou seja, para o bloco realmente atingir a base com movimento, é necessário
\sin\theta > \mu_{c}\cos\theta \quad\text{(caso contrário o atrito pára ou impede o movimento)}.áá
Se a quantidade for zero, a velocidade final seria zero; se for negativa, na prática o bloco não chegaria ao fim movendo-se do jeito assumido.

Resposta

W_{P} = m g L \sin\theta
W_{N} = 0
W_{at} = -\mu_{c} m g L \cos\theta
v = \sqrt{2 g L\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr)}

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