Sejam os vetores vec{A}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\hat{k} e vec{B}=-4 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}.
Determine:
vec{A} \cdot \hat{\imath}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{A}=2\hat{\imath}+3\hat{\jmath}+\hat{k} e \vec{B}=-4\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-\hat{k} e pede para determinar \vec{A}\cdot\hat{\imath}.
Informações relevantes: os coeficientes de \vec{A} são as componentes A_x=2, A_y=3, A_z=1. A pergunta é especificamente o produto escalar entre \vec{A} e o vetor unitário \hat{\imath}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática do produto escalar (dot product) em coordenadas cartesianas: se
\vec{U}=U_x\hat{\imath}+U_y\hat{\jmath}+U_z\hat{k}
e
\vec{V}=V_x\hat{\imath}+V_y\hat{\jmath}+V_z\hat{k},
então o produto escalar é
\vec{U}\cdot\vec{V}=U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z.
Aqui U_x,U_y,U_z e V_x,V_y,V_z são as componentes dos vetores nas direções \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} respectivamente. Essa fórmula vem da propriedade de que \{\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}\} é uma base ortonormal, ou seja \hat{\imath}\cdot\hat{\imath}=1 e \hat{\jmath}\cdot\hat{\imath}=0, etc.

Passo 3

Observe que o vetor \hat{\imath} tem componentes (1,0,0), pois é o vetor unitário na direção x. Então, aplicando a fórmula do produto escalar com \vec{A} e \hat{\imath} temos
\vec{A}\cdot\hat{\imath}=A_x\cdot 1 + A_y\cdot 0 + A_z\cdot 0.
Aqui estamos usando A_x=2, A_y=3 e A_z=1 extraídos do enunciado.

Passo 4

Substituindo os valores nas componentes:
\vec{A}\cdot\hat{\imath}=2\cdot 1 + 3\cdot 0 + 1\cdot 0.
Fazendo as contas:
2\cdot 1 = 2,\quad 3\cdot 0 = 0,\quad 1\cdot 0 = 0,
portanto a soma é 2+0+0.

Passo 5

Interpretação útil para a prova: o produto escalar de um vetor qualquer com \hat{\imath} retorna justamente a componente x desse vetor. Ou seja, \vec{A}\cdot\hat{\imath}=A_x. Exemplo rápido para fixar: \vec{A}\cdot\hat{\jmath}=3 (pega a componente y) e \vec{A}\cdot\hat{k}=1 (pega a componente z). Vai tranquilo — dot com vetor unitário é só “pegar a componente”.

Resposta

2

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