Considere um bloco de massa
que é abandonado em um plano inclinado de um ângulo
com a direção horizontal. Sabendo que o bloco percorre uma distância
até atingir a base do plano e que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é
, calcule o trabalho realizado por cada uma das forças que atuam no bloco entre o instante em que é abandonado e aquele em que chega ao fim do plano. Com que velocidade ele atinge o fim do plano inclinado?
Passo 1
O problema pede duas coisas principais:
- Calcular o trabalho realizado por cada força que age sobre o bloco enquanto ele se desloca do topo até a base do plano inclinado.
- Determinar a velocidade com que o bloco atinge o fim do plano.
Informações dadas:
- Massa do bloco:
. - Inclinação do plano em relação à horizontal:
. - Comprimento do deslocamento ao longo do plano até a base:
. - Coeficiente de atrito cinético:
. - O bloco é abandonado a partir do repouso no topo (velocidade inicial zero).
- Forças que atuam (conforme figura): peso
(vertical para baixo), força normal (perpendicular ao plano) e força de atrito cinético (tangencial, oposta ao movimento).
Passo 2
Conceito de trabalho que vamos usar (aula rápida e prática).
- Trabalho de uma força constante
ao longo de um deslocamento é
onde
é o ângulo entre
e
.
- Se
(força paralela e no mesmo sentido do deslocamento), então (positivo). - Se
(força antiparalela), então (negativo). - Se
(força perpendicular), então .
Também usaremos o Teorema do Trabalho-Energia cinética:
Como
(partiu do repouso), fica
Passo 3
Trabalho da força peso
.
- Geometricamente, ao descer o plano de comprimento
o bloco desce verticalmente uma altura
(Eu peguei essa relação do triângulo retângulo formado pelo plano inclinado e a vertical.)
- O trabalho da gravidade é igual ao ganho de energia cinética que viria da perda de energia potencial, ou diretamente:
Explicação do sinal: a gravidade puxa na direção do deslocamento (tem componente na direção do deslocamento), portanto faz trabalho positivo. Resultado:
Passo 4
Força normal
e seu trabalho.
- A força normal é perpendicular ao plano. O deslocamento é ao longo do plano. Então o ângulo entre
e o deslocamento é . - Pelo conceito de trabalho,
- Para informação adicional (útil para calcular atrito): a intensidade de
obtém-se equilibrando as forças na direção perpendicular ao plano (não há aceleração nessa direção), ou seja
Mas mesmo conhecendo
, o trabalho da normal continua sendo zero porque é perpendicular ao deslocamento.
Passo 5
Trabalho da força de atrito cinético
.
- Módulo da força de atrito cinético:
usando
que encontramos antes.
- A direção do atrito é contrária ao movimento ao longo do plano, então o ângulo entre
e o deslocamento é . Assim o trabalho é negativo:
Explicando o sinal: o atrito retira energia do sistema (converte em calor), por isso trabalho negativo.
Passo 6
Trabalho total (líquido) sobre o bloco.
- Soma dos trabalhos das forças: peso + normal + atrito:
- Substituindo os resultados:
Passo 7
Velocidade final usando o Teorema do Trabalho-Energia.
- Começamos do teorema
- Substituindo
:
- Cancelando
(não nulo) e isolando :
- Observação física importante: a expressão sob a raiz precisa ser não negativa para que a velocidade real exista. Ou seja, para o bloco realmente atingir a base com movimento, é necessário
Se a quantidade for zero, a velocidade final seria zero; se for negativa, na prática o bloco não chegaria ao fim movendo-se do jeito assumido.