Q25.3 Um bastio cilíndrico possui resistividade \rho. Se triplicarmos o comprimento e o diâmetro, qual sería a resistividade, em termos de \rho ?

Passo 1

O enunciado dá um bastão cilíndrico feito de um material com resistividade \rho. Ele diz que triplicamos o comprimento e o diâmetro do bastão. A pergunta é: qual será a resistividade do novo bastão, expressa em termos de \rho?\n
Informações relevantes listadas:
  • Resistividade inicial do material: \rho.
  • Comprimento inicial: L (não numerado, só simbólico).
  • Diâmetro inicial: D.
  • Comprimento novo: L' = 3L.
  • Diâmetro novo: D' = 3D.
  • O que se pede: valor da resistividade do novo bastão, em termos de \rho.

Passo 2

Vamos lembrar a diferença entre resistividade e resistência, pois isso é crucial. A resistividade é uma propriedade intrínseca do material (como “quão ruim” o material é para conduzir eletricidade) e é simbolizada por \rho. Já a resistência do componente depende da forma geométrica e da resistividade, dada pela fórmula:
R = \rho \frac{L}{A},
onde:
  • R é a resistência elétrica do bastão (em ohms),
  • \rho é a resistividade do material (em \Omega\cdot\text{m}),
  • L é o comprimento do bastão (em metros),
  • A é a área da secção transversal (em metros quadrados).\n
    Vou explicar essa fórmula: quanto maior o comprimento L, mais “caminho” os elétrons têm que percorrer, então a resistência cresce proporcionalmente a L. Quanto maior a área A, mais “pistas” para os elétrons passarem, então a resistência diminui inversamente com A. A resistividade \rho ajusta a escala conforme o material.

Passo 3

Precisamos ver como a área da seção transversal muda quando triplicamos o diâmetro. Para um cilindro circular,
A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}.
Se D' = 3D, então a nova área A' é
A' = \pi \left(\frac{D'}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{3D}{2}\right)^2 = \pi \frac{9D^2}{4} = 9\left(\frac{\pi D^2}{4}\right) = 9A.
Portanto, ao triplicar o diâmetro, a área da seção transversal aumenta por um fator 9.

Passo 4

Agora calculamos a nova resistência R' usando a fórmula \displaystyle R' = \rho \frac{L'}{A'}. Substituindo L' = 3L e A' = 9A, obtemos:
R' = \rho \frac{3L}{9A} = \rho \frac{L}{3A} = \frac{1}{3}\left(\rho \frac{L}{A}\right) = \frac{R}{3}.
Ou seja, a resistência do bastão diminui para um terço do valor original. Repare que em toda a conta a resistividade \rho aparece como o mesmo parâmetro: não foi alterada por mudar as dimensões.

Passo 5

Explicando didaticamente: resistividade \rho é uma propriedade do material — muda se você trocar o material (por exemplo, cobre vs. ferro), mas não muda por alterar o tamanho ou a forma do corpo. O que muda com as dimensões é a resistência R, porque R combina \rho com fatores geométricos L e A. No nosso caso, triplicar L e D alterou L e A de forma que R mudou, mas \rho ficou igual.\n
Um exemplo numérico rápido para fixar: suponha \rho=1\\ \Omega\cdot\text{m}, L=2\\ \text{m}, D=1\\ \text{m}. Então A=\pi/4 e
R=\rho\frac{L}{A}=1\cdot\frac{2}{\pi/4}=\frac{8}{\pi}.
Com L'=6\\ \text{m} e D'=3\\ \text{m}, temos A'=9A e
R' = 1\cdot\frac{6}{9A} = \frac{6}{9}\cdot\frac{1}{A} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{A} = \frac{8}{3\pi} = \frac{R}{3}.
Aqui a resistividade usada em ambos os casos foi \rho=1; ela não mudou.

Resposta

\rho

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