Q25.3 Um bastio cilíndrico possui resistividade
. Se triplicarmos o comprimento e o diâmetro, qual sería a resistividade, em termos de
?
Passo 1
O enunciado dá um bastão cilíndrico feito de um material com resistividade
. Ele diz que triplicamos o comprimento e o diâmetro do bastão. A pergunta é: qual será a resistividade do novo bastão, expressa em termos de
?\n
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Resistividade inicial do material:
. - Comprimento inicial:
(não numerado, só simbólico). - Diâmetro inicial:
. - Comprimento novo:
. - Diâmetro novo:
. - O que se pede: valor da resistividade do novo bastão, em termos de
.
Passo 2
Vamos lembrar a diferença entre resistividade e resistência, pois isso é crucial. A resistividade é uma propriedade intrínseca do material (como “quão ruim” o material é para conduzir eletricidade) e é simbolizada por
. Já a resistência do componente depende da forma geométrica e da resistividade, dada pela fórmula:
onde:
-
é a resistência elétrica do bastão (em ohms), -
é a resistividade do material (em ), -
é o comprimento do bastão (em metros), -
é a área da secção transversal (em metros quadrados).\n
Vou explicar essa fórmula: quanto maior o comprimento, mais “caminho” os elétrons têm que percorrer, então a resistência cresce proporcionalmente a . Quanto maior a área , mais “pistas” para os elétrons passarem, então a resistência diminui inversamente com . A resistividade ajusta a escala conforme o material.
Passo 3
Precisamos ver como a área da seção transversal muda quando triplicamos o diâmetro. Para um cilindro circular,
Se
, então a nova área
é
Portanto, ao triplicar o diâmetro, a área da seção transversal aumenta por um fator
.
Passo 4
Agora calculamos a nova resistência
usando a fórmula
. Substituindo
e
, obtemos:
Ou seja, a resistência do bastão diminui para um terço do valor original. Repare que em toda a conta a resistividade
aparece como o mesmo parâmetro: não foi alterada por mudar as dimensões.
Passo 5
Explicando didaticamente: resistividade
é uma propriedade do material — muda se você trocar o material (por exemplo, cobre vs. ferro), mas não muda por alterar o tamanho ou a forma do corpo. O que muda com as dimensões é a resistência
, porque
combina
com fatores geométricos
e
. No nosso caso, triplicar
e
alterou
e
de forma que
mudou, mas
ficou igual.\n
Um exemplo numérico rápido para fixar: suponha ,
,
. Então
e
Um exemplo numérico rápido para fixar: suponha
Com
e
, temos
e
Aqui a resistividade usada em ambos os casos foi
; ela não mudou.