Considere que uma bola seja lançada com uma velocidade inicial de módulo igual a v0 a um ângulo theta acima da horizontal. Considerando que o módulo de sua velocidade, para uma altura h qualquer acima do solo, seja v :
a) Mostre que v(h) é independente de theta.
b) Obtenha a equação da trajetória y(x), considerando que o lançamento ocorreu a partir da origem do sistema coordenado.

Passo 1

Beleza, o exercício tá falando de lançamento de projétil: a gente joga uma bola com velocidade inicial de módulo e ângulo acima da horizontal. Duas coisas pedidas:
a) Mostrar que a velocidade da bola quando ela estiver a uma altura vale alguma coisa que não depende de .
b) Encontrar a equação da trajetória , assumindo que a bola parte da origem .
Conteúdo: cinemática de projéteis (decomposição de velocidades e/ou conservação de energia) e equação da parábola. Vamos precisar lembrar de:
  • Decompor a velocidade inicial em e .
  • Usar conservação de energia (ou as equações de movimento) pra achar em função de .
  • Usar as equações paramétricas e eliminar o tempo pra achar .

Passo 2

Parte (a): mostrar que Ei = tfrac12 m v0^2 + m g cdot 0 independe de Ef = tfrac12 m v(h)^2 + m g,h .
  1. Se a gente usar conservação de energia mecânica (sem atrito), a energia cinética mais potencial inicial é igual à somada numa altura tfrac12 m v0^2 = tfrac12 m v(h)^2 + m g h ;;Longrightarrow;; v(h)^2 = v0^2 - 2gh .
    Energia inicial: v(h) = raiz,v0^2 - 2gh, Energia em altura :
  2. Igualando :
  3. Então
Repara que não tem ali, só e . Pronto, independente de .

Passo 3

Parte (b): achar y = v0sintheta;xv0costheta ;-;tfrac12 gl(xv0costhetar)^2 = xtantheta ;-;g,x^22,v0^2cos^2theta, . A gente faz assim: escrevo as componentes do movimento:
  • No eixo : .
  • No eixo : .
Agora elimino o tempo :
  1. Da primeira, .
  2. Substituo em :
E essa é a parábola clássica.

Resposta

a) , independe de .
b) .

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