Considere \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) um vetor aleatório com função distribuição acumulada F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}).
Sejam as propriedades:
P4. F_{\boldsymbol{X}} é contínua à direita em cada componente.
Se n=2 mostre que:
\mathbb{P}\left[a_{1}<X_{1} \leq b_{1}, a_{2}<X_{2} \leq b_{2}\right]=F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, b_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, a_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, b_{2}\right)+F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, a_{2}\right) .

Passo 1

O enunciado dá um vetor aleatório \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2}) com função distribuição acumulada F_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2})=\mathbb{P}\bigl(X_{1}\le x_{1},\,X_{2}\le x_{2}\bigr) e pede para mostrar uma fórmula para a probabilidade do retângulo semiaberto (a_{1},b_{1}]\times(a_{2},b_{2}]. Vou assumir (como é natural no problema) que a_{1}<b_{1} e a_{2}<b_{2}.
As informações relevantes:
  • A definição de função distribuição acumulada multivariada: \displaystyle F_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2})=\mathbb{P}\bigl(X_{1}\le x_{1},\,X_{2}\le x_{2}\bigr).
  • A propriedade P4: F_{\boldsymbol{X}} é contínua à direita em cada componente (isto será útil se precisássemos trocar desigualdades estritas por não estritas por limites, embora aqui possamos trabalhar diretamente com conjuntos do tipo (-\infty,t]).
  • O objetivo: provar que
\mathbb{P}\bigl(a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\bigr) =F_{\boldsymbol{X}}\bigl(b_{1},b_{2}\bigr)-F_{\boldsymbol{X}}\bigl(b_{1},a_{2}\bigr)-F_{\boldsymbol{X}}\bigl(a_{1},b_{2}\bigr)+F_{\boldsymbol{X}}\bigl(a_{1},a_{2}\bigr).

Passo 2

Expressar o evento pedido em termos de eventos do tipo \{X_{1}\le \cdot,\;X_{2}\le \cdot\}. Defina os conjuntos-evento (todos escritos com desigualdades \le, que se relacionam diretamente com a CDF):
E=\{X_{1}\le b_{1},\;X_{2}\le b_{2}\},
A=\{X_{1}\le a_{1},\;X_{2}\le b_{2}\},
B=\{X_{1}\le b_{1},\;X_{2}\le a_{2}\},
C=\{X_{1}\le a_{1},\;X_{2}\le a_{2}\}.
Observe que A\subset E e B\subset E porque a_{1}<b_{1} e a_{2}<b_{2}.

Passo 3

Mostrar a igualdade entre conjuntos que representa o retângulo semiaberto. Note que
\{a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\} =E\setminus (A\cup B).
Justificação: um ponto está em E quando X_{1}\le b_{1} e X_{2}\le b_{2}. Se além disso não pertence a A nem a B, então necessariamente X_{1}>a_{1} e X_{2}>a_{2}, ou seja a_{1}<X_{1}\le b_{1} e a_{2}<X_{2}\le b_{2}. Reciprocamente, qualquer ponto com essas duas desigualdades pertence a E e não pertence a A nem a B. Logo a igualdade de conjuntos vale.

Passo 4

Usar propriedades de probabilidade (linearidade e inclusão-exclusão). Da igualdade de conjuntos do passo anterior segue
\mathbb{P}\bigl(a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\bigr) =\mathbb{P}\bigl(E\setminus (A\cup B)\bigr).
Como A\cup B\subset E, tem-se
\mathbb{P}\bigl(E\setminus (A\cup B)\bigr)=\mathbb{P}(E)-\mathbb{P}(A\cup B).
Pela fórmula da união para duas probabilidades (inclusão-exclusão),
\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B).
Mas A\cap B=C, pois A\cap B=\{X_{1}\le a_{1},\;X_{2}\le a_{2}\}.

Passo 5

Substituir cada probabilidade por valores da CDF. Pela definição de F_{\boldsymbol{X}}:
\mathbb{P}(E)=F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},b_{2}),\quad \mathbb{P}(A)=F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},b_{2}),
\mathbb{P}(B)=F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},a_{2}),\quad \mathbb{P}\text{(C)}=F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},a_{2}).
Juntando tudo:
\begin{aligned} \mathbb{P}\bigl(a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\bigr) &=F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},b_{2})-\bigl[F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},b_{2})+F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},a_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},a_{2})\bigr]\\[4pt] &=F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},b_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},a_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},b_{2})+F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},a_{2}). \end{aligned}]

Passo 6

Comentário rápido sobre a propriedade P4: aqui usamos diretamente eventos com desigualdades do tipo \le, então não foi necessário passar por limites. A continuidade à direita de F_{\boldsymbol{X}} garante, em geral, que expressões envolvendo limites para converter desigualdades estritas em não estritas (por exemplo, se alguém quisesse escrever \mathbb{P}(X_1>a_1,\ldots) como um limite de \mathbb{P}(X_1\le a_1+\varepsilon,\ldots) quando \varepsilon\downarrow 0) são legítimas. Mas a prova anterior é direta e completa sem precisar tomar limites.

Resposta

\mathbb{P}\bigl(a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\bigr) =F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},b_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},a_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},b_{2})+F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},a_{2}).

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