Considere
um vetor aleatório com função distribuição acumulada
.
Sejam as propriedades:
P4.
é contínua à direita em cada componente.
Se
mostre que:
Sejam as propriedades:
P4.
Se
Passo 1
O enunciado dá um vetor aleatório
com função distribuição acumulada
e pede para mostrar uma fórmula para a probabilidade do retângulo semiaberto
. Vou assumir (como é natural no problema) que
e
.
As informações relevantes:
- A definição de função distribuição acumulada multivariada:
. - A propriedade P4:
é contínua à direita em cada componente (isto será útil se precisássemos trocar desigualdades estritas por não estritas por limites, embora aqui possamos trabalhar diretamente com conjuntos do tipo ). - O objetivo: provar que
Passo 2
Expressar o evento pedido em termos de eventos do tipo
. Defina os conjuntos-evento (todos escritos com desigualdades
, que se relacionam diretamente com a CDF):
Observe que
e
porque
e
.
Passo 3
Mostrar a igualdade entre conjuntos que representa o retângulo semiaberto. Note que
Justificação: um ponto está em
quando
e
. Se além disso não pertence a
nem a
, então necessariamente
e
, ou seja
e
. Reciprocamente, qualquer ponto com essas duas desigualdades pertence a
e não pertence a
nem a
. Logo a igualdade de conjuntos vale.
Passo 4
Usar propriedades de probabilidade (linearidade e inclusão-exclusão). Da igualdade de conjuntos do passo anterior segue
Como
, tem-se
Pela fórmula da união para duas probabilidades (inclusão-exclusão),
Mas
, pois
.
Passo 5
Substituir cada probabilidade por valores da CDF. Pela definição de
:
Juntando tudo:
Passo 6
Comentário rápido sobre a propriedade P4: aqui usamos diretamente eventos com desigualdades do tipo
, então não foi necessário passar por limites. A continuidade à direita de
garante, em geral, que expressões envolvendo limites para converter desigualdades estritas em não estritas (por exemplo, se alguém quisesse escrever
como um limite de
quando
) são legítimas. Mas a prova anterior é direta e completa sem precisar tomar limites.