Considere \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}\right) um vetor aleatório absolutamente contínuo com fdp dada por:
f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})=\mathbb{1}_{(0,1)}\left(x_{1}\right) \mathbb{1}_{(0,1)}\left(x_{2}\right)𝟙𝟙
i) Mostrar que f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) é uma legítima função densidade de probabilidade.
ii) Determinar as marginais de X_{1} e X_{2}.
iii) Calcular \mathbb{P}\left[1 / 2<X_{1}<2 / 3,2 / 3<X_{2} \leq 1\right].

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta de um vetor aleatório \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2}):
f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})=\mathbb{1}_{(0,1)}(x_{1})\;\mathbb{1}_{(0,1)}(x_{2}).𝟙𝟙
As perguntas são:
  1. (i) Mostrar que f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) é uma legítima função densidade de probabilidade.
  2. (ii) Determinar as densidades marginais de X_{1} e X_{2}.
  3. (iii) Calcular \mathbb{P}\!\left[\tfrac{1}{2}<X_{1}<\tfrac{2}{3},\\ \tfrac{2}{3}<X_{2}\leq 1\right].
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é escrita com indicadores \mathbb{1}_{(0,1)}(\cdot)𝟙, isto é, vale 1 quando a coordenada está em (0,1) e vale 0 fora desse intervalo.
  • Os intervalos utilizados na definição são abertos (0,1) para cada coordenada (pontos de fronteira têm medida zero para densidades contínuas).

Passo 2

Entender o que significa ser uma “legítima função densidade de probabilidade”.
Definição prática: uma função f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) é uma densidade válida se satisfaz:
  1. Não-negatividade: \,f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\ge 0 para todo \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{2}.
  2. Integra a 1: \displaystyle \iint_{\mathbb{R}^{2}} f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}=1.
Vamos verificar essas duas condições para a função dada.

Passo 3

Verificação da não-negatividade.
A função indicada é produto de indicadores \mathbb{1}_{(0,1)}(x_{1})𝟙 e \mathbb{1}_{(0,1)}(x_{2})𝟙. Cada indicador toma somente os valores 0 ou 1. Portanto, para todo \boldsymbol{x},
f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\in\{0,1\},
o que implica imediatamente que
f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\ge 0\quad\text{para todo }\boldsymbol{x}.

Passo 4

Verificação da integral ser igual a 1.
A função é não-nula apenas no quadrado aberto (0,1)\times(0,1). Assim a integral dupla sobre \mathbb{R}^{2} reduz-se à integral sobre esse quadrado. Usando Fubini (ou a propriedade de integrais em retângulos):
\iint_{\mathbb{R}^{2}} f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2} =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1\;\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}.
Como a ordem de integração não importa, calculemos:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1\;\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2} =\int_{0}^{1}\bigg(\int_{0}^{1}1\;\mathrm{d}x_{1}\bigg)\mathrm{d}x_{2} =\int_{0}^{1} (1-0)\;\mathrm{d}x_{2} =\int_{0}^{1}1\;\mathrm{d}x_{2}=1.
Logo a integral é 1.

Passo 5

Conclusão da parte (i).
Juntando Passos 3 e 4, a função é não-negativa e integra 1. Portanto é uma legítima função densidade de probabilidade.

Passo 6

Obter as densidades marginais — conceito e fórmula.
Regra (marginalização): para uma densidade conjunta f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}), a densidade marginal de X_{1} é
f_{X_{1}}(x_{1})=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})\;\mathrm{d}x_{2}.
Análogo para X_{2}:
f_{X_{2}}(x_{2})=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})\;\mathrm{d}x_{1}.
Isto expressa que, para obter a distribuição de uma coordenada, integra-se a densidade conjunta sobre a outra coordenada.

Passo 7

Cálculo explícito de f_{X_{1}}(x_{1}).
Para um valor fixo de x_{1}, a função conjunta em x_{2} vale \mathbb{1}_{(0,1)}(x_{1})\mathbb{1}_{(0,1)}(x_{2})𝟙𝟙. Ao integrar em x_{2} sobre (-\infty,\infty) apenas o intervalo (0,1) contribui:
f_{X_{1}}(x_{1}) =\int_{-\infty}^{\infty} \mathbb{1}_{(0,1)}(x_{1})\mathbb{1}_{(0,1)}(x_{2})\;\mathrm{d}x_{2} =\mathbb{1}_{(0,1)}(x_{1})\int_{0}^{1} 1\;\mathrm{d}x_{2}.𝟙𝟙𝟙
A integral \int_{0}^{1}1\;\mathrm{d}x_{2}=1, então
f_{X_{1}}(x_{1})=\mathbb{1}_{(0,1)}(x_{1}).𝟙
Isto significa que X_{1} tem densidade uniforme no intervalo (0,1).

Passo 8

Cálculo explícito de f_{X_{2}}(x_{2}).
Pelo mesmo raciocínio,
f_{X_{2}}(x_{2}) =\int_{-\infty}^{\infty} \mathbb{1}_{(0,1)}(x_{1})\mathbb{1}_{(0,1)}(x_{2})\;\mathrm{d}x_{1} =\mathbb{1}_{(0,1)}(x_{2})\int_{0}^{1}1\;\mathrm{d}x_{1} =\mathbb{1}_{(0,1)}(x_{2}).𝟙𝟙𝟙𝟙
Portanto X_{2} também é uniforme em (0,1).
Observação (útil em prova): como a densidade conjunta fatorou como produto das marginais
f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=f_{X_{1}}(x_{1})\;f_{X_{2}}(x_{2}),
conclui-se também que X_{1} e X_{2} são independentes.

Passo 9

Calcular a probabilidade da parte (iii): estratégia.
Para variáveis contínuas com densidade conjunta, a probabilidade de um evento A\subset\mathbb{R}^{2} é a integral dupla da densidade sobre A:
\mathbb{P}[(X_{1},X_{2})\in A]=\iint_{A} f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})\;\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}.
Aqui A=\{(x_{1},x_{2})\mid \tfrac{1}{2}<x_{1}<\tfrac{2}{3},\\ \tfrac{2}{3}<x_{2}\le 1\}. Note que a condição \le 1 não altera o valor da probabilidade porque um ponto de fronteira tem probabilidade zero; e a densidade está definida como indicadora de (0,1) (em x_{2}=1 a densidade é 0).

Passo 10

Cálculo direto da probabilidade pela integral (usar independência ou integrar diretamente).
Usando independência (produto das marginais) ou integrando a densidade 1 sobre o retângulo, obtemos:
\mathbb{P}\!\left[\tfrac{1}{2}<X_{1}<\tfrac{2}{3},\\ \tfrac{2}{3}<X_{2}\le 1\right] =\int_{x_{1}=\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{2}{3}}\int_{x_{2}=\tfrac{2}{3}}^{1} 1\;\mathrm{d}x_{2}\mathrm{d}x_{1}.
Calcule a integral interna:
\int_{\tfrac{2}{3}}^{1}1\;\mathrm{d}x_{2}=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.
Agora a integral externa:
\int_{\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{2}{3}} \tfrac{1}{3}\;\mathrm{d}x_{1} =\tfrac{1}{3}\bigg(\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{2}\bigg).
Calcule a diferença de frações:
\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{4}{6}-\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{6}.
Portanto
\mathbb{P}\!\left[\tfrac{1}{2}<X_{1}<\tfrac{2}{3},\\ \tfrac{2}{3}<X_{2}\le 1\right] =\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{18}.

Resposta

(i) Sim.
(ii) f_{X_{1}}(x)=\mathbb{1}_{(0,1)}(x),\quad f_{X_{2}}(x)=\mathbb{1}_{(0,1)}(x).𝟙𝟙
(iii) \tfrac{1}{18}

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