Considere
um vetor aleatório absolutamente contínuo com fdp dada por:
i) Mostrar que
é uma legítima função densidade de probabilidade.
ii) Determinar as marginais de
e
.
iii) Calcular
.
ii) Determinar as marginais de
iii) Calcular
Passo 1
O enunciado dá a densidade conjunta de um vetor aleatório
:
As perguntas são:
- (i) Mostrar que
é uma legítima função densidade de probabilidade. - (ii) Determinar as densidades marginais de
e . - (iii) Calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é escrita com indicadores
, isto é, vale quando a coordenada está em e vale fora desse intervalo. - Os intervalos utilizados na definição são abertos
para cada coordenada (pontos de fronteira têm medida zero para densidades contínuas).
Passo 2
Entender o que significa ser uma “legítima função densidade de probabilidade”.
Definição prática: uma função
é uma densidade válida se satisfaz:
- Não-negatividade:
para todo . - Integra a
: .
Vamos verificar essas duas condições para a função dada.
Passo 3
Verificação da não-negatividade.
A função indicada é produto de indicadores
e
. Cada indicador toma somente os valores
ou
. Portanto, para todo
,
o que implica imediatamente que
Passo 4
Verificação da integral ser igual a
.
A função é não-nula apenas no quadrado aberto
. Assim a integral dupla sobre
reduz-se à integral sobre esse quadrado. Usando Fubini (ou a propriedade de integrais em retângulos):
Como a ordem de integração não importa, calculemos:
Logo a integral é
.
Passo 5
Conclusão da parte (i).
Juntando Passos 3 e 4, a função é não-negativa e integra
. Portanto é uma legítima função densidade de probabilidade.
Passo 6
Obter as densidades marginais — conceito e fórmula.
Regra (marginalização): para uma densidade conjunta
, a densidade marginal de
é
Análogo para
:
Isto expressa que, para obter a distribuição de uma coordenada, integra-se a densidade conjunta sobre a outra coordenada.
Passo 7
Cálculo explícito de
.
Para um valor fixo de
, a função conjunta em
vale
. Ao integrar em
sobre
apenas o intervalo
contribui:
A integral
, então
Isto significa que
tem densidade uniforme no intervalo
.
Passo 8
Cálculo explícito de
.
Pelo mesmo raciocínio,
Portanto
também é uniforme em
.
Observação (útil em prova): como a densidade conjunta fatorou como produto das marginais
conclui-se também que
e
são independentes.
Passo 9
Calcular a probabilidade da parte (iii): estratégia.
Para variáveis contínuas com densidade conjunta, a probabilidade de um evento
é a integral dupla da densidade sobre
:
Aqui
. Note que a condição
não altera o valor da probabilidade porque um ponto de fronteira tem probabilidade zero; e a densidade está definida como indicadora de
(em
a densidade é
).
Passo 10
Cálculo direto da probabilidade pela integral (usar independência ou integrar diretamente).
Usando independência (produto das marginais) ou integrando a densidade
sobre o retângulo, obtemos:
Calcule a integral interna:
Agora a integral externa:
Calcule a diferença de frações:
Portanto
Resposta
(i) Sim.
(ii)
(iii)
(ii)
(iii)