Considere uma borracha sendo estirada de 0 a 10 cm . A força restauradora da borracha é dada por f=-kx, onde k é uma constante de força ( k=10^-4 dina. cm^-1) e x é a extensão de estiramento. Nessas condições calcule a variação de energia livre de Helmholtz associada a um processo isotérmico de: a) estiramento reversível e irreversível; b) contração reversível e irreversível; c) no caso dos processos irreversíveis, relacione a variação de energia livre de helmholtz com o trabalho irreversível. Considere na resposta uma análise de valores absolutos e em módulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de uma borracha sendo esticada e contratada entre 0 e 10 cm. A força que a borracha exerce de volta é dada por $ f = -kx $, onde $ k = 10^{-4} $ dina/cm e $ x $ é a extensão. A gente precisa calcular a variação da energia livre de Helmholtz em processos isotérmicos (temperatura constante) de estiramento e contração, tanto reversíveis quanto irreversíveis. Além disso, para os processos irreversíveis, vamos relacionar essa variação com o trabalho irreversível, sempre cuidando dos valores em módulo. Vamos usar conceitos de termodinâmica, como energia livre de Helmholtz e trabalho em processos reversíveis e irreversíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a energia livre de Helmholtz ($ F $). Ela é definida por $ F = U - TS $, onde $ U $ é a energia interna, $ T $ é a temperatura e $ S $ é a entropia. Em processos isotérmicos, a variação de $ F $ está relacionada ao trabalho realizado. Em processos reversíveis, o trabalho realizado pela borracha é igual à variação da energia livre. Já nos irreversíveis, o trabalho realizado é maior devido à produção de entropia.

Passo 3

Vamos começar calculando a variação da energia livre de Helmholtz para um processo reversível de estiramento. Como a força restauradora é $ f = -kx $, a energia potencial elástica armazenada na borracha é $ U = \frac{1}{2}kx^2 $. Para um processo reversível, a variação de $ F $ será igual ao trabalho realizado:
f = -kx
Substituindo $ k = 10^{-4} $ dina/cm:
U = 12kx^2
Como estamos analisando em módulo:
F

Passo 4

Agora, para o processo irreversível de estiramento, o trabalho realizado é maior que no reversível devido à dissipação de energia (por exemplo, calor, atrito interno). A variação da energia livre de Helmholtz permanece a mesma, mas o trabalho total $ W_{irr} $ inclui o trabalho reversível mais o trabalho irreversível $ W_{irr} = W_{rev} + W_{irr}’ $.
Portanto, a variação da energia livre de Helmholtz é:
Wirr

Passo 5

Para a parte b), vamos considerar a contração reversível e irreversível. O raciocínio é semelhante ao do estiramento. Para a contração reversível:
De
Em módulo:
|De
Para a contração irreversível, a variação da energia livre de Helmholtz continua a mesma, mas o trabalho total inclui o trabalho irreversível:
De
E em módulo:
|De

Passo 6

Finalmente, para a parte c), precisamos relacionar a variação da energia livre de Helmholtz com o trabalho irreversível nos processos irreversíveis.
Sabemos que:
De
E para processos irreversíveis:
Wirr = Wrev + Wirr'
Portanto, a variação da energia livre de Helmholtz ($ \Delta F Deáíí W_{irr}’ $) é a diferença entre o trabalho total irreversível e o trabalho reversível.
Em módulo:
Wirr'

Resposta

A variação da energia livre de Helmholtz é $ |\Delta F| = 5 \times 10^{-3} $ dina.cm para todos os processos considerados. Nos casos irreversíveis, essa variação está relacionada ao trabalho irreversível de forma que $ |\Delta F| \leq |W_{irr}| $.

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