Considere o problema do caminhante aleatório com p=q e m=n1-n2 sendo o deslocamento neto para a direita. Após um total de N passos, calcule os seguintes valores médios: barm, m^2, m^3 e m^4.

Passo 1

Beleza, o exercício fala de um caminhante aleatório (random walk) com probabilidades iguais de ir pra direita ou esquerda ( p=q=1/2). A gente define o deslocamento líquido como
m = n1 - n2
onde n1 é o número de passos pra direita e n2 pra esquerda, num total de N passos.
Conteúdo: momentos de uma soma de variáveis independentes. Vamos usar conceitos de expectativa, variância e simetria da distribuição pra derivar
bar m, m^2, m^3, m^4

Passo 2

Primeiro, modela cada passo como uma variável aleatória Xi=+1&se vai pra direita-1&se vai pra esquerda
Como p=q=1/2, cada Xi tem E[Xi]=0, E[Xi^2]=1, E[Xi^3]=0, E[Xi^4]=1
O deslocamento total é
m=sumi=1^N Xi

Passo 3

Vamos calcular bar m=E[m] via linearidade da esperança:
E[m]=El[sumi Xir]=sumi E[Xi]=Ncdot 0=0

Passo 4

Agora E[m^2]. Como m tem média zero, E[m^2]=Var(m). E a variância de soma de i.i.d. é soma das variâncias:
Var(m)=sumi=1^NVar(Xi)=Ncdotl(E[Xi^2]-(E[Xi])^2r)=Ncdot(1-0)=N
Logo
m^2=N

Passo 5

Para m^3=E[m^3], note que a distribuição de m é perfeitamente simétrica em torno de zero (cada passo é simétrico), então todos os momentos de ordem ímpar são zero:
m^3=0

Passo 6

Falta m^4=E[m^4]. A gente expande
m^4=l(sumiXir)^4
e só sobram contribuições de termos com produtos pares. O resultado padrão (ou usando cumulantes) dá:
E[m^4]=3,N(N-1)+N=3N^2-2N

Resposta

Portanto, os valores médios são:
bar m=0, m^2=N, m^3=0, m^4=3N^2-2N

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