Seja
um espaço linear de dimensão
, e seja
uma transformação linear. Mostre que existem escalares
tais que
e
é a transformação nula.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial
de dimensão
e uma transformação linear
, existe um polinômio não nulo
tal que a transformação
é a transformação nula. O conteúdo usado aqui é o fato de que o espaço das transformações lineares
tem dimensão
e, portanto, qualquer família de
elementos nele é linearmente dependente.
Passo 2
Considere o espaço vetorial
Sabemos que
porque, em bases fixas de
, cada transformação linear corresponde a uma matriz
.
Passo 3
Observe a família de
transformações em
:
Como
, qualquer conjunto de mais de
vetores em
é linearmente dependente.
Passo 4
Da dependência linear dessa família segue que existem escalares
, nem todos zero, tais que
no espaço
. Isso quer dizer que, para todo
,
Resposta
Existem de fato escalares
, não todos nulos, tais que
é a transformação nula em
.