Seja V um espaço linear de dimensão n, e seja T: V V uma transformação linear. Mostre que existem escalares c0, ldots cn^2 tais que (c0, ldots cn^2) neq(0, ldots 0) e c0 I+c1 T+cdots+cn^2 T^n^2: V V é a transformação nula.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial V de dimensão n e uma transformação linear T:Vto V, existe um polinômio não nulo
p(x)=c0+c1x+cdots+cn^2x^n^2
tal que a transformação
p(T)=c0I+c1T+cdots+cn^2T^n^2
é a transformação nula. O conteúdo usado aqui é o fato de que o espaço das transformações lineares L(V) tem dimensão n^2 e, portanto, qualquer família de n^2+1 elementos nele é linearmente dependente.

Passo 2

Considere o espaço vetorial
L(V)=S:Vto Vmid S é linear é
Sabemos que dim L(V)=n^2 porque, em bases fixas de V, cada transformação linear corresponde a uma matriz ntimes n.

Passo 3

Observe a família de n^2+1 transformações em L(V):
I,;T,;T^2,;dots,;T^n^2
Como dim L(V)=n^2, qualquer conjunto de mais de n^2 vetores em L(V) é linearmente dependente.

Passo 4

Da dependência linear dessa família segue que existem escalares c0,c1,dots,cn^2, nem todos zero, tais que
c0I+c1T+cdots+cn^2T^n^2=0
no espaço L(V). Isso quer dizer que, para todo vin V,
l(c0I+c1T+cdots+cn^2T^n^2r)(v)=0

Resposta

Existem de fato escalares ,c0,dots,cn^2, não todos nulos, tais que
c0I+c1T+cdots+cn^2T^n^2
é a transformação nula em V.

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