Considere um cabo coaxial constituído de um fio longo e reto coaxial a um tubo condutor cilíndrico de raio a. Quando uma corrente dada por I=I_{0}+\gamma t^{2} ( \gamma é uma constante) vai pelo fio e volta através do tubo, surge um campo elétrico induzido dentro do cabo dado, em coordenadas cilíndricas, por
\vec{E}(s, t)=-\frac{\mu_{0} \gamma t}{\pi} \ln \left(\frac{a}{s}\right) \hat{z}
onde \hat{z} aponta ao longo fio, no sentido da corrente. Determine: (a) a densidade de corrente de deslocamento; (b) a corrente de deslocamento total no interior do tubo.

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico dentro do cabo coaxial, em coordenadas cilíndricas, e pede duas coisas. Dados e pedidos, explicitados claramente:
  • Campo elétrico fornecido (peguei do enunciado):
\vec{E}(s,t) = -\frac{\mu_{0}\,\gamma\,t}{\pi}\,\ln\!\left(\frac{a}{s}\right)\,\hat{z},
onde \hat{z} aponta ao longo do fio no sentido da corrente, a é o raio interno do tubo condutor, s é a coordenada radial ( 0\le s\le a ) e \gamma é constante.
  • O que é pedido:
    (a) a densidade de corrente de deslocamento \vec{J}_d(s,t) dentro do tubo;
    (b) a corrente de deslocamento total {I}_d(t) que atravessa a seção transversal interior do tubo (ou seja, integrada sobre 0\le s\le a e \varphi\in[0,2\pi)).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática): Maxwell introduziu a corrente de deslocamento para corrigir a lei de Ampère quando há campos elétricos variando no tempo. A densidade de corrente de deslocamento é definida por
\vec{J}_d = \varepsilon_0\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e \partial \vec{E}/\partial t é a derivada temporal do campo elétrico no ponto considerado. Intuitivamente: quando o campo elétrico muda no tempo, isso é equivalente, do ponto de vista do campo magnético, a uma “corrente efetiva” dada por \varepsilon_0\partial\vec{E}/\partial t. Essa é a expressão que vamos aplicar diretamente ao campo \vec{E}(s,t) dado.

Passo 3

Calcular a derivada temporal do campo elétrico fornecido e obter \vec{J}_d.
  • Derivando \vec{E}(s,t) em relação a t:
\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = -\frac{\mu_{0}\,\gamma}{\pi}\,\ln\!\left(\frac{a}{s}\right)\,\hat{z},
pois a derivada de t é 1 e o resto depende só de s.
  • Portanto, usando \vec{J}_d = \varepsilon_0\,\partial\vec{E}/\partial t, obtemos:
\vec{J}_d(s,t) = -\frac{\varepsilon_0\mu_{0}\,\gamma}{\pi}\,\ln\!\left(\frac{a}{s}\right)\,\hat{z}.
Explicação do sinal: o sinal negativo vem do sinal em \vec{E}. Como \hat{z} foi definido no sentido da corrente no fio, um \vec{J}_d negativo significa que a componente da corrente de deslocamento aponta no sentido oposto a \hat{z}.

Passo 4

Preparar e explicar a integração para a corrente de deslocamento total. A corrente total de deslocamento que atravessa a seção transversal (plano perpendicular ao eixo z) é a integral da densidade de corrente de deslocamento sobre essa área:
I_d(t)=\iint_{A} \vec{J}_d\cdot d\vec{A}.
Aqui a área A é o disco de raio a, o elemento de área (vetorial) é d\vec{A}= \hat{z}\,s\,ds\,d\varphi. Então o produto escalar \vec{J}_d\cdot d\vec{A} simplifica para J_{d,z}(s,t)\,s\,ds\,d\varphi. Substituindo \vec{J}_d e integrando sobre \varphi\in[0,2\pi) e s\in[0,a]:
I_d(t)=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}\left(-\frac{\varepsilon_0\mu_{0}\,\gamma}{\pi}\ln\!\left(\frac{a}{s}\right)\right)s\,ds\,d\varphi.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
  • Primeiro integrar em \varphi: o integrando não depende de \varphi, então
I_d(t) = -\frac{\varepsilon_0\mu_{0}\,\gamma}{\pi}\cdot 2\pi \int_{0}^{a} s\ln\!\left(\frac{a}{s}\right)\,ds = -2\varepsilon_0\mu_{0}\,\gamma \int_{0}^{a} s\ln\!\left(\frac{a}{s}\right)\,ds.
  • Agora calcular a integral radial. Escrevendo \ln\!\left(\dfrac{a}{s}\right)=\ln a - \ln s,
\int_{0}^{a} s\ln\!\left(\frac{a}{s}\right)\,ds = \ln a\int_{0}^{a}s\,ds - \int_{0}^{a} s\ln s\,ds.
Calcule as duas partes:
\int_{0}^{a}s\,ds = \frac{a^{2}}{2}.
Para \int_{0}^{a} s\ln s\,ds usar integração por partes (ou fórmula conhecida):
\int s\ln s\,ds = \frac{s^{2}}{2}\ln s - \frac{s^{2}}{4} + C,
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\int_{0}^{a} s\ln s\,ds = \left[\frac{s^{2}}{2}\ln s - \frac{s^{2}}{4}\right]_{0}^{a} = \frac{a^{2}}{2}\ln a - \frac{a^{2}}{4}.
Substituindo:
\int_{0}^{a} s\ln\!\left(\frac{a}{s}\right)\,ds = \ln a\cdot\frac{a^{2}}{2} - \left(\frac{a^{2}}{2}\ln a - \frac{a^{2}}{4}\right) = \frac{a^{2}}{4}.
  • Voltar para I_d:
I_d(t) = -2\varepsilon_0\mu_{0}\,\gamma \cdot \frac{a^{2}}{4} = -\frac{\varepsilon_0\mu_{0}\,\gamma\,a^{2}}{2}.

Passo 6

Interpretar e apresentar de forma conveniente. Pode-se usar a relação \varepsilon_0\mu_0 = \dfrac{1}{c^{2}} (onde c é a velocidade da luz no vácuo) para escrever a corrente de deslocamento como
I_d(t) = -\frac{\gamma\,a^{2}}{2c^{2}}.
O sinal negativo indica que a corrente de deslocamento total atravessa a seção no sentido oposto a \hat{z}, isto é, oposta ao sentido da corrente real do fio indicado no enunciado. Isso é compatível com a conservação de corrente quando a corrente real no fio varia no tempo.

Resposta

\vec{J}_d(s,t) = -\dfrac{\varepsilon_0\mu_{0}\,\gamma}{\pi}\,\ln\!\left(\dfrac{a}{s}\right)\,\hat{z}
I_d(t) = -\dfrac{\varepsilon_0\mu_{0}\,\gamma\,a^{2}}{2} = -\dfrac{\gamma\,a^{2}}{2c^{2}}

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