Considere um cabo coaxial constituído de um fio longo e reto coaxial a um tubo condutor cilíndrico de raio
. Quando uma corrente dada por
(
é uma constante) vai pelo fio e volta através do tubo, surge um campo elétrico induzido dentro do cabo dado, em coordenadas cilíndricas, por
onde
aponta ao longo fio, no sentido da corrente. Determine: (a) a densidade de corrente de deslocamento; (b) a corrente de deslocamento total no interior do tubo.
Passo 1
O enunciado fornece o campo elétrico dentro do cabo coaxial, em coordenadas cilíndricas, e pede duas coisas. Dados e pedidos, explicitados claramente:
- Campo elétrico fornecido (peguei do enunciado):
onde
aponta ao longo do fio no sentido da corrente,
é o raio interno do tubo condutor,
é a coordenada radial (
) e
é constante.
- O que é pedido:
(a) a densidade de corrente de deslocamentodentro do tubo;
(b) a corrente de deslocamento totalque atravessa a seção transversal interior do tubo (ou seja, integrada sobre e ).
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática): Maxwell introduziu a corrente de deslocamento para corrigir a lei de Ampère quando há campos elétricos variando no tempo. A densidade de corrente de deslocamento é definida por
onde
é a permissividade do vácuo e
é a derivada temporal do campo elétrico no ponto considerado. Intuitivamente: quando o campo elétrico muda no tempo, isso é equivalente, do ponto de vista do campo magnético, a uma “corrente efetiva” dada por
. Essa é a expressão que vamos aplicar diretamente ao campo
dado.
Passo 3
Calcular a derivada temporal do campo elétrico fornecido e obter
.
- Derivando
em relação a :
pois a derivada de
é
e o resto depende só de
.
- Portanto, usando
, obtemos:
Explicação do sinal: o sinal negativo vem do sinal em
. Como
foi definido no sentido da corrente no fio, um
negativo significa que a componente da corrente de deslocamento aponta no sentido oposto a
.
Passo 4
Preparar e explicar a integração para a corrente de deslocamento total. A corrente total de deslocamento que atravessa a seção transversal (plano perpendicular ao eixo
) é a integral da densidade de corrente de deslocamento sobre essa área:
Aqui a área
é o disco de raio
, o elemento de área (vetorial) é
. Então o produto escalar
simplifica para
. Substituindo
e integrando sobre
e
:
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.
- Primeiro integrar em
: o integrando não depende de , então
- Agora calcular a integral radial. Escrevendo
,
Calcule as duas partes:
Para
usar integração por partes (ou fórmula conhecida):
logo
Substituindo:
- Voltar para
:
Passo 6
Interpretar e apresentar de forma conveniente. Pode-se usar a relação
(onde
é a velocidade da luz no vácuo) para escrever a corrente de deslocamento como
O sinal negativo indica que a corrente de deslocamento total atravessa a seção no sentido oposto a
, isto é, oposta ao sentido da corrente real do fio indicado no enunciado. Isso é compatível com a conservação de corrente quando a corrente real no fio varia no tempo.