Uma espira quadrada de lado a está situada entre dois fios longos que estão no mesmo plano da espira, a uma distância 5 a um do outro. Na realidade, os dois fios longos são os lados maiores de uma grande espira retangular, mas os lados curtos estão tão distantes que podem ser desconsiderados. A espira menor está a meio caminho entre os fios (distância 2 a de cada um). Determine a indutância mútua entre as duas espiras.

Passo 1

O enunciado dá uma espira quadrada pequena de lado a colocada entre os dois lados longos de uma espira retangular grande. Os dois fios longos (os lados grandes) estão no mesmo plano da espira pequena e distam entre si 5a. A espira pequena fica entre eles de modo que a distância do fio esquerdo à aresta esquerda da espira pequena é 2a e, simetricamente, a distância do fio direito à aresta direita da espira pequena é 2a. Assim, a espira pequena ocupa a região entre x=2a e x=3a (medida a partir do fio esquerdo), e o fio direito está em x=5a. O enunciado pede: determinar a indutância mútua entre as duas espiras (ou seja, entre a espira grande — aqui aproximada pelos dois fios longos — e a espira quadrada pequena).
Informações relevantes listadas:
  • distância entre os dois fios longos: 5a;
  • espira pequena é quadrada de lado a, situada entre os fios com folgas 2a em cada lado (logo a espira ocupa x\in[2a,3a]);
  • os lados curtos da espira grande estão longe e são desprezados (só os dois fios longos contribuem);
  • queremos a indutância mútua M entre espira grande (corrente I) e a espira pequena.

Passo 2

O que é indutância mútua e como vamos calcular: por definição, a indutância mútua M entre duas espiras é a razão entre o fluxo magnético total \Phi que atravessa a espira receptora e a corrente I que percorre a espira transmissora:
M=\frac{\Phi}{I}.
Aqui a espira transmissora é a espira grande (aproximada pelos dois fios longos) e a receptora é a espira quadrada pequena. Portanto precisamos calcular o fluxo magnético \Phi através da espira pequena produzido por uma corrente I nos fios longos e depois dividir por I.
Explicando o conceito de fluxo magnético de forma simples: o fluxo magnético \Phi é a integral da componente do campo magnético \mathbf{B} perpendicular à superfície da espira sobre toda a área A:
\Phi=\iint_{A}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
No nosso caso a espira é plana e o campo gerado pelos fios tem direção perpendicular à espira (entrando ou saindo do plano), então \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=B_z\,dA.

Passo 3

Campo magnético produzido por um fio longo retilíneo: vamos usar a fórmula do campo magnético de um fio longo e retilíneo (Lei de Ampère / Biot–Savart para fio infinito). A magnitude do campo a uma distância perpendicular r do fio é
B(r)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo e I é a corrente no fio. O campo tem direção circular ao redor do fio; no plano da espira (plano que contém os fios e a espira pequena) essa direção é perpendicular ao plano (ou seja, a componente normal ao plano é a única não-nula no ponto considerado). Por isso podemos usar diretamente essa expressão para a componente que atravessa a espira pequena.
Importante: os dois fios têm correntes que percorrem os lados longos da espira grande em sentidos opostos; isso faz com que, na região entre os fios, os campos gerados por cada fio tenham a mesma direção (ou seja, se somam). Portanto o campo total no interior da espira pequena é a soma dos módulos vindos dos dois fios:
B_{\text{total}}(x)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\!\left(\frac{1}{r_{\text{esq}}(x)}+\frac{1}{r_{\text{dir}}(x)}\right),
onde r_{\text{esq}}(x) é a distância ao fio esquerdo e r_{\text{dir}}(x) é a distância ao fio direito.

Passo 4

Escolha de coordenadas e expressão para as distâncias: colocar o eixo x horizontal medindo distância a partir do fio esquerdo. Assim:
  • fio esquerdo em x=0;
  • fio direito em x=5a;
  • a espira pequena ocupa x\in[2a,3a] e, em y, ocupa um segmento de comprimento a. Como o campo de um fio infinito não depende da coordenada y (apenas da distância perpendicular x), a integral sobre y traz um fator a.
As distâncias dos pontos da espira aos fios são
r_{\text{esq}}(x)=x,\qquad r_{\text{dir}}(x)=5a-x,
para x variando de 2a a 3a.

Passo 5

Escrevendo o fluxo magnético \Phi através da espira pequena: como B_{\text{total}} é perpendicular ao plano e independente de y, a integral dupla reduz-se a integral em x vezes o comprimento a em y:
\Phi=\int_{A} B_{\text{total}}\,dA = \int_{x=2a}^{3a}\!\int_{y=0}^{a} \frac{\mu_{0}I}{2\pi}\!\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{5a-x}\right)\,dy\,dx.
Integrando em y (pois o integrando não depende de y) obtemos
\Phi=\frac{\mu_{0}I\,a}{2\pi}\int_{2a}^{3a}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{5a-x}\right)\,dx.

Passo 6

Cálculo da integral em x: calcular
\int_{2a}^{3a}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{5a-x}\right)\,dx.
Fazendo as primitivas separadamente:
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln x,\qquad \int \frac{1}{5a-x}\,dx=-\ln(5a-x).
Logo a primitiva do integrando é \ln x-\ln(5a-x)=\ln\!\big(\dfrac{x}{5a-x}\big). Avaliando entre x=2a e x=3a:
\left.\ln\!\left(\frac{x}{5a-x}\right)\right|_{2a}^{3a} = \ln\!\left(\frac{3a}{5a-3a}\right)-\ln\!\left(\frac{2a}{5a-2a}\right) = \ln\!\left(\frac{3a}{2a}\right)-\ln\!\left(\frac{2a}{3a}\right).
Simplificando:
\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)-\ln\!\left(\frac{2}{3}\right) = \ln\!\left(\frac{3/2}{2/3}\right) = \ln\!\left(\frac{9}{4}\right).

Passo 7

Substituindo o valor da integral no fluxo e encontrando M: com a integral valendo \ln(9/4), o fluxo é
\Phi=\frac{\mu_{0}I\,a}{2\pi}\ln\!\left(\frac{9}{4}\right).
Pela definição de indutância mútua M=\Phi/I, portanto
M=\frac{\mu_{0}a}{2\pi}\ln\!\left(\frac{9}{4}\right).
Uma verificação rápida das unidades: \mu_0 tem unidades de henry por metro (quando multiplicado por comprimento dá henry), e a tem unidade de metro, então M fica em henrys (H), como esperado.

Resposta

M=\frac{\mu_{0}\,a}{2\pi}\ln\!\left(\frac{9}{4}\right)

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