Considere um cabo coaxial de raio interno a, raio externo b, comprimento ell e com uma corrente i. Admitindo o campo magnético como sendo nulo no interior do condutor interno de raio a, encontre a expressão para a energia magnética armazenada no sistema utilizando o resultado do item anterior e mostre que esta mesma expressão pode ser obtida utilizando a definição de densidade de energia magnética.

Passo 1

Beleza, o exercício diz: temos um cabo coaxial com raio interno , raio externo , comprimento e uma corrente . Sabemos que dentro do condutor interno (raio ) o campo magnético é zero. Precisamos achar a energia magnética armazenada no sistema de duas formas:
  1. Usando o resultado do item anterior (que é basicamente a indutância do cabo).
  2. Usando a definição de densidade de energia magnética .
    O conteúdo é magnetostática, cálculo de indutância e densidade de energia. Vamos precisar do campo magnético no espaço entre e , da fórmula de indutância e de uma integral de energia de volume.

Passo 2

Primeiro, usando o resultado anterior:
Para um coaxial com corrente L = mu0 ell2pi,ln!l(tfracbar) , a indutância é
U = tfrac12,L,i^2 = tfrac12 ,mu0 ell2pi,ln!l(tfracbar),i^2 = mu0 ell,i^24pi,ln!l(tfracbar)
A energia magnética armazenada em um indutor vale

Passo 3

Agora, pela densidade de energia magnética:
  1. Primeiro achamos o campo magnético entre B(r) = mu0,i2pi,r e u(r) = B^22mu0 = 12mu0,l(mu0,i2pi,rr)^2 = mu0,i^28pi^2,r^2 . Pela lei de Ampère, para U = integralV u,dV = integralr=a^b!!u(r),l(2pi r,ell,drr) :
U = integrala^bmu0,i^28pi^2,r^2 ,(2pi r,ell),dr = mu0,i^2,ell4piintegrala^bdrr = mu0,i^2,ell4pi,ln!l(tfracbar)
  1. A densidade de energia é
  1. A energia total é a integral dessa densidade sobre o volume entre e :
Substituindo :

Resposta

As duas maneiras dão o mesmo resultado:
boxedU = mu0,ell,i^24pi,ln!l(tfracbar)

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