Seja uma carga puntiforme localizada na origem, demonstre usando a lei de Gauss em sua forma diferencial que a densidade de carga associada a tal distribuição de carga é
com
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente mostrar que, para uma carga pontual “toda concentrada na origem” do espaço, a densidade de carga ρ(x) vale zero em qualquer ponto diferente da origem. Isto faz parte da eletrostática e, mais precisamente, do uso da Lei de Gauss em sua forma diferencial. Para resolver, vamos precisar de:
- A expressão do campo elétrico
de uma carga pontual. - A Lei de Gauss na forma diferencial:
. - Cálculo de divergência de um campo radial em coordenadas esféricas (ou usando a definição em cartesiano, se você preferir).
Passo 2
Primeiro, escrevemos o campo elétrico de uma carga
na origem. Em coordenadas esféricas, ele é puramente radial e vale
Aqui
é o vetor unitário que aponta da origem até o ponto
.
Passo 3
A Lei de Gauss em forma diferencial liga divergência de
à densidade de carga
:
Logo, se a gente calcular
para fora da origem e achar zero, segue que
nesses pontos.
Passo 4
Como
é radial, o jeito mais direto é usar a fórmula do divergente em coordenadas esféricas para um campo que só tem componente
:
Aqui
. Então
Aplicando a derivada:
válido sempre que
.
Passo 5
Finalmente, pela Lei de Gauss diferencial:
se
para
, então
Resposta
A densidade de carga associada à carga pontual é