Um fio condutor, fino e longo, transportando uma corrente I1 = 7,2 A, é posicionado no eixo x de um sistema de coordenadas. Uma espira circular de raio R transportando uma corrente I2 = 2,1 A também está posicionada no plano xy de forma que seu centro coincide com a origem do sistema de coordenadas. Inicialmente, o campo magnético resultante no ponto (0,0,0.20 m) é nulo. Em seguida, a espira é movida para que seu centro esteja agora em (0,0.30 m,0) e uma nova medição do campo magnético é realizada no ponto (0,0,0.20 m). Se o valor da segunda medição corresponde à metade do valor da primeira, qual é o raio da espira, em metros? (aproxime sua resposta final para dois algarismos).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular.
Enunciado em miúdos:
– Temos um fio reto e longo, sobre o eixo x, percorrido por uma corrente I₁=7,2 A.
– Temos uma espira circular, de raio R, no plano xy (centro na origem), com corrente I₂=2,1 A.
– Avaliamos o campo magnético total no ponto P=(0,0,0,20 m) e descobrimos que, nessa posição inicial da espira, o campo resultante é nulo.
– Depois deslizamos a espira para que seu centro fique em (0,0,0,30 m) e medimos de novo em P. Disseram que esse novo valor é a metade do que era naquela primeira medição.
O que se pergunta: “Qual é o raio R da espira?”
Conteúdo:
– Lei de Biot–Savart e fórmulas padrão de campo de um fio retilíneo longo e de uma espira circular.
– Noções de vetores: direção e sentido de cada contribuição de campo e soma vetorial.
O que vamos precisar:
  1. Expressão de B de um fio longo num ponto (Lei de Ampère ou Biot–Savart simplificado);
  2. Expressão de B de uma espira circular no seu eixo;
  3. Determinar direção de cada B em P;
  4. Somar vetorialmente;
  5. Jogar na condição “B₁ + B₂ = 0” e ver se surge R.

Passo 2

Primeiro, as fórmulas de módulo:
  1. Campo do fio reto longo, distância d até o fio:
Brm fio=mu0,I12pi,d
  1. Campo da espira no eixo, a uma distância z do plano da espira (raio R):
Brm espira(z) =mu0,I2,R^22,(R^2+z^2)^3/2
No nosso caso inicial: P=(0,0,0,20 m), então d=0,20 m e z=0,20 m.
Mas o passo crucial é olhar a direção de cada campo em P:
B do fio (fio sobre o eixo x, corrente em +x): pelo “dedão” da mão direita, em P=(0,0,+z), o campo fica apontando sobre o eixo y (perpendicular a x e a r̂).
B da espira (espira no plano xy, eixo da espira ao longo de z): em P sobre esse eixo, o campo está na direção +z ou –z, dependendo do sentido da corrente.
Conclusão imediata: esses dois vetores são ortogonais (um aponta em y, o outro em z).
Logo não há como B_fio + B_espira = 0 vetorialmente, a não ser que cada um seja zero. Mas ambos são não-nulos para correntes e distâncias dadas.

Passo 3

Como as duas contribuições são perpendiculares, o módulo resultante seria
| B|=raizBrm fio^2+Brm espira^2
e não
|Brm fio-Brm espira|,
Não há valor de R que anule esse √(…) exceto R→∞ ou I→0, o que não está no enunciado.

Resposta

O enunciado está inconsistente: as direções de 𝐁 do fio e da espira em P são perpendiculares, de modo que não é possível somá-las para obter campo resultante nulo. Portanto não existe valor de R que satisfaça a condição dada.

Exercícios relacionados