Considere, em cada questão, a curva
dada por
Calcule a integral vetorial
isto é, integre separadamente cada coordenada.
Seja
Calcule
Seja
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede calcular a integral vetorial indefinida
isto é, integrar separadamente cada coordenada da curva.
- A curva é dada por
- Como é uma integral indefinida, cada coordenada terá uma constante de integração; podemos escrever no final uma constante vetorial
.
Agora vamos integrar cada coordenada passo a passo, explicando as técnicas usadas.
Passo 2
Integral da primeira coordenada
.
Técnica a usar: substituição simples. Regra (mini-aula): se
e
, então
Aqui note que o denominador
tem derivada
, o que sugere a substituição
Então
. Substituindo na integral:
A integral de
é o logaritmo natural, então
Voltando à variável
e lembrando que
(pois
, na verdade
para todo
), obtemos
Exemplo extra curto (para fixar):
— é o mesmo padrão sem o fator
.
Passo 3
Integral da segunda coordenada
.
Técnica a usar: integração por partes. Regra (mini-aula): se escolhermos funções
e
com
e
antiderivada de
, então
Aqui uma escolha natural é colocar
(porque sua derivada simplifica) e
. Então:
Aplicando integração por partes:
Simplificando dentro da integral:
Portanto
Observação: a escolha
é possível porque
(domínio do logaritmo).
Passo 4
Juntando as duas coordenadas e escrevendo a constante de integração como uma constante vetorial.
Dos passos anteriores temos
Logo a integral vetorial é (somando as coordenadas)
Podemos agrupar as constantes numa constante vetorial
e escrever de forma compacta:
Passo 5
Verificação rápida (como checar na prova): derivando componente a componente a expressão obtida deve retornar
.
- Derivando
obtemos . - Derivando
obtemos, usando produto e regra da derivada do log, exatamente .
Isso confirma que a antiderivada vetorial está correta.