Considere, em cada questão, a curva \alpha: U \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
\alpha(t)=(x(t), y(t)) .
Calcule a integral vetorial
\int \alpha(t) d t
isto é, integre separadamente cada coordenada.
Seja
\alpha(t)=\left(\frac{t}{1+t^{2}}, t \ln t\right), \quad t>0
Calcule
\int \alpha(t) d t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede calcular a integral vetorial indefinida
\int \alpha(t)\,dt,
isto é, integrar separadamente cada coordenada da curva.
  • A curva é dada por
\alpha(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\left(\dfrac{t}{1+t^{2}},\,t\ln t\right), \qquad t>0.
  • Como é uma integral indefinida, cada coordenada terá uma constante de integração; podemos escrever no final uma constante vetorial C\in\mathbb{R}^2.
Agora vamos integrar cada coordenada passo a passo, explicando as técnicas usadas.

Passo 2

Integral da primeira coordenada \displaystyle\int \dfrac{t}{1+t^{2}}\,dt.
Técnica a usar: substituição simples. Regra (mini-aula): se u=g(t) e du=g'(t)\,dt, então
\int f(g(t))g'(t)\,dt=\int f(u)\,du.
Aqui note que o denominador 1+t^{2} tem derivada 2t, o que sugere a substituição
u=1+t^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2t\,dt.
Então t\,dt=\dfrac{1}{2}\,du. Substituindo na integral:
\int \dfrac{t}{1+t^{2}}\,dt=\int \dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{1}{2}\,du=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{u}\,du.
A integral de 1/u é o logaritmo natural, então
\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{u}\,du=\dfrac{1}{2}\ln|u|+C_1.
Voltando à variável t e lembrando que u=1+t^{2}>0 (pois t>0, na verdade 1+t^2>0 para todo t), obtemos
\int \dfrac{t}{1+t^{2}}\,dt=\dfrac{1}{2}\ln(1+t^{2})+C_1.
Exemplo extra curto (para fixar): \displaystyle\int \dfrac{2t}{1+t^{2}}\,dt=\ln(1+t^{2})+C — é o mesmo padrão sem o fator 1/2.

Passo 3

Integral da segunda coordenada \displaystyle\int t\ln t\,dt.
Técnica a usar: integração por partes. Regra (mini-aula): se escolhermos funções u(t) e v'(t) com u'=du/dt e v antiderivada de v', então
\int u(t)\,v'(t)\,dt = u(t)v(t) - \int v(t)\,u'(t)\,dt.
Aqui uma escolha natural é colocar u=\ln t (porque sua derivada simplifica) e v'=t. Então:
u=\ln t \quad\Rightarrow\quad du=\dfrac{1}{t}\,dt,
v'=t \quad\Rightarrow\quad v=\dfrac{t^{2}}{2}.
Aplicando integração por partes:
\int t\ln t\,dt = u\cdot v - \int v\,du = \dfrac{t^{2}}{2}\ln t - \int \dfrac{t^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{t}\,dt.
Simplificando dentro da integral:
\int \dfrac{t^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{t}\,dt = \dfrac{1}{2}\int t\,dt = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{t^{2}}{2} = \dfrac{t^{2}}{4}.
Portanto
\int t\ln t\,dt = \dfrac{t^{2}}{2}\ln t - \dfrac{t^{2}}{4} + C_2.
Observação: a escolha u=\ln t é possível porque t>0 (domínio do logaritmo).

Passo 4

Juntando as duas coordenadas e escrevendo a constante de integração como uma constante vetorial.
Dos passos anteriores temos
\int \dfrac{t}{1+t^{2}}\,dt=\dfrac{1}{2}\ln(1+t^{2})+C_1,
\int t\ln t\,dt=\dfrac{t^{2}}{2}\ln t-\dfrac{t^{2}}{4}+C_2.
Logo a integral vetorial é (somando as coordenadas)
\int \alpha(t)\,dt = \left(\dfrac{1}{2}\ln(1+t^{2})+C_1,\; \dfrac{t^{2}}{2}\ln t-\dfrac{t^{2}}{4}+C_2\right).
Podemos agrupar as constantes numa constante vetorial C=(C_1,C_2)\in\mathbb{R}^{2} e escrever de forma compacta:
\int \alpha(t)\,dt = \left(\dfrac{1}{2}\ln(1+t^{2}),\; \dfrac{t^{2}}{2}\ln t-\dfrac{t^{2}}{4}\right)+C.

Passo 5

Verificação rápida (como checar na prova): derivando componente a componente a expressão obtida deve retornar \alpha(t).
  • Derivando \dfrac{1}{2}\ln(1+t^{2}) obtemos \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2t}{1+t^{2}}=\dfrac{t}{1+t^{2}}.
  • Derivando \dfrac{t^{2}}{2}\ln t-\dfrac{t^{2}}{4} obtemos, usando produto e regra da derivada do log, exatamente t\ln t.
    Isso confirma que a antiderivada vetorial está correta.

Resposta

\int \alpha(t)\,dt = \left(\dfrac{1}{2}\ln(1+t^{2}),\; \dfrac{t^{2}}{2}\ln t-\dfrac{t^{2}}{4}\right)+C,\qquad C\in\mathbb{R}^{2}

Exercícios relacionados