Considere, em cada questão, a curva
dada por
Para cada curva abaixo, calcule
isto é, calcule separadamente os limites de
e
.
Para
determine
Para
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
e pede que calculemos
ou seja, calcular separadamente os limites das coordenadas
e
quando
:
-
, . -
, .
Passo 2
Vamos lembrar e justificar duas ferramentas que usaremos.
- Limite fundamental
Explicação (intuição e argumento por desigualdade): para
pequeno e positivo vale a desigualdade clássica
. Como
e o lado direito é
, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que
. Essa é a razão pela qual frequentemente sustituímos senos divididos por seus argumentos por
quando o argumento tende a zero.
- Propriedades básicas de limites
- Se
e é constante, então . - Se
e com , então . - Substituições do tipo
preservam o comportamento: para qualquer constante .
Com isso em mãos, vamos calcular cada coordenada.
Passo 3
Cálculo do limite da primeira coordenada
.
Reescrevemos para usar o limite fundamental:
Agora apliquei a propriedade de fator constante (o
sai da limite). Como
, tomando
obtemos
Portanto
Passo 4
Cálculo do limite da segunda coordenada
.
Usamos a identidade trigonométrica da função cosseno em ângulo duplo:
Dessa identidade segue
Substituindo na expressão de
:
Agora usamos o limite fundamental para
:
. Assim
Passo 5
Encontramos os limites das duas coordenadas:
Como ambas as coordenadas têm limite finito, o limite da curva existe e é o par formado por esses limites.