Considere, em cada questão, a curva \alpha: U \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
\alpha(t)=(x(t), y(t)) .
Para cada curva abaixo, calcule
\lim _{t \rightarrow t_{0}} \alpha(t),
isto é, calcule separadamente os limites de x(t) e y(t).
Para
\alpha(t)=\left(\frac{\operatorname{sen}(3 t)}{4 t}, \frac{1-\cos (2 t)}{t^{2}}\right), \quad t \rightarrow 0,
determine
\lim _{t \rightarrow 0} \alpha(t) .

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
\alpha(t)=\left(\frac{\operatorname{sen}(3t)}{4t},\;\frac{1-\cos(2t)}{t^{2}}\right)
e pede que calculemos
\lim_{t\to 0}\alpha(t),
ou seja, calcular separadamente os limites das coordenadas x(t) e y(t) quando t\to 0:
  • x(t)=\dfrac{\operatorname{sen}(3t)}{4t}, t\to 0.
  • y(t)=\dfrac{1-\cos(2t)}{t^{2}}, t\to 0.

Passo 2

Vamos lembrar e justificar duas ferramentas que usaremos.
  1. Limite fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Explicação (intuição e argumento por desigualdade): para u pequeno e positivo vale a desigualdade clássica \cos u \le \dfrac{\sin u}{u}\le 1. Como \lim_{u\to 0}\cos u=1 e o lado direito é 1, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que \dfrac{\sin u}{u}\to 1. Essa é a razão pela qual frequentemente sustituímos senos divididos por seus argumentos por 1 quando o argumento tende a zero.
  1. Propriedades básicas de limites
  • Se \lim_{t\to 0}f(t)=L e c é constante, então \lim_{t\to 0}c\cdot f(t)=c\cdot L.
  • Se \lim_{t\to 0}f(t)=L e \lim_{t\to 0}g(t)=M com M\neq 0, então \lim_{t\to 0}\dfrac{f(t)}{g(t)}=\dfrac{L}{M}.
  • Substituições do tipo u=at preservam o comportamento: \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin(at)}{at}=1 para qualquer constante a.
Com isso em mãos, vamos calcular cada coordenada.

Passo 3

Cálculo do limite da primeira coordenada x(t)=\dfrac{\sin(3t)}{4t}.
Reescrevemos para usar o limite fundamental:
\frac{\sin(3t)}{4t}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\sin(3t)}{3t}.
Agora apliquei a propriedade de fator constante (o \tfrac{3}{4} sai da limite). Como \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1, tomando u=3t obtemos
\lim_{t\to 0}\frac{\sin(3t)}{3t}=1.
Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{\sin(3t)}{4t}=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4}.

Passo 4

Cálculo do limite da segunda coordenada y(t)=\dfrac{1-\cos(2t)}{t^{2}}.
Usamos a identidade trigonométrica da função cosseno em ângulo duplo:
\cos(2t)=1-2\sin^{2}t.
Dessa identidade segue
1-\cos(2t)=2\sin^{2}t.
Substituindo na expressão de y(t):
\frac{1-\cos(2t)}{t^{2}}=\frac{2\sin^{2}t}{t^{2}}=2\left(\frac{\sin t}{t}\right)^{2}.
Agora usamos o limite fundamental para \dfrac{\sin t}{t}: \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Assim
\lim_{t\to 0}2\left(\frac{\sin t}{t}\right)^{2}=2\cdot 1^{2}=2.

Passo 5

Encontramos os limites das duas coordenadas:
  • \displaystyle \lim_{t\to 0}x(t)=\dfrac{3}{4}.
  • \displaystyle \lim_{t\to 0}y(t)=2.
Como ambas as coordenadas têm limite finito, o limite da curva existe e é o par formado por esses limites.

Resposta

\lim_{t\to 0}\alpha(t)=\left(\frac{3}{4},2\right)

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