Considere, em cada questão, a curva
dada por
Calcule
, derivando coordenada a coordenada.
Seja
Seja
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da curva coordenada a coordenada. As informações fornecidas são:
- A curva é
dada por
- Especificamente,
O que se pede: calcular
, ou seja, derivar cada componente em relação a
(derivada coordenada a coordenada). Observação sobre domínio:
está definida para todo
, mas a segunda componente tem denominador
, portanto há atenção em
(não pertence ao domínio da segunda componente).
Passo 2
Derivada da primeira componente
.
Vou usar a regra do produto: se
e
são diferenciáveis, então
Aqui escolha
e
.
-
. -
(derivada do exponencial é ele mesmo).
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
:
Passo 3
Derivada da segunda componente
.
Vou usar a regra do quociente: se
e
são diferenciáveis e
, então
Aqui tome
e
.
- Derivada de
: usar a cadeia. Se então . Com tem-se . Logo
- Derivada de
: .
Aplicando a regra do quociente:
Agora faço uma simplificação algébrica para deixar em forma racional única. Primeiro escrevo o numerador com denominador comum
:
Dividindo pelo denominador
resulta
Essa é uma forma totalmente simplificada e explícita da derivada da segunda componente. Uma alternativa menos “combinada” seria deixar
que é equivalente.
Passo 4
Montagem do vetor derivada
juntando as duas componentes derivadas e observação final sobre domínio.
Assim,
com as expressões obtidas. Note que a segunda componente não está definida em
(denominador nulo); a primeira componente está definida para todo
.