Considere, em cada questão, a curva \alpha: U \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
\alpha(t)=(x(t), y(t)) .
Calcule \alpha^{\prime}(t), derivando coordenada a coordenada.
Seja
\alpha(t)=\left(t^{{2}} e^{t}, \frac{\ln \left(1+t^{{2}}\right)}{1+t}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da curva coordenada a coordenada. As informações fornecidas são:
  • A curva é \alpha: U \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 dada por
\alpha(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr).
  • Especificamente,
\alpha(t)=\left(t^{2}e^{t},\; \frac{\ln\bigl(1+t^{2}\bigr)}{1+t}\right).
O que se pede: calcular \alpha^{\prime}(t), ou seja, derivar cada componente em relação a t (derivada coordenada a coordenada). Observação sobre domínio: \ln\bigl(1+t^{2}\bigr) está definida para todo t\in\mathbb{R}, mas a segunda componente tem denominador 1+t, portanto há atenção em t=-1 (não pertence ao domínio da segunda componente).

Passo 2

Derivada da primeira componente x(t)=t^{2}e^{t}.
Vou usar a regra do produto: se f(t) e g(t) são diferenciáveis, então
\bigl(f(t)g(t)\bigr)'=f'(t)g(t)+f(t)g'(t).
Aqui escolha f(t)=t^{2} e g(t)=e^{t}.
  • f'(t)=2t.
  • g'(t)=e^{t} (derivada do exponencial é ele mesmo).
Aplicando a regra do produto:
x'(t)=2t\cdot e^{t} + t^{2}\cdot e^{t}.
Fatorando e^{t}:
x'(t)=e^{t}\bigl(2t+t^{2}\bigr)=e^{t}t\bigl(t+2\bigr).

Passo 3

Derivada da segunda componente y(t)=\dfrac{\ln\bigl(1+t^{2}\bigr)}{1+t}.
Vou usar a regra do quociente: se u(t) e v(t) são diferenciáveis e v(t)\neq0, então
\left(\frac{u(t)}{v(t)}\right)'=\frac{u'(t)v(t)-u(t)v'(t)}{v(t)^{2}}.
Aqui tome u(t)=\ln\bigl(1+t^{2}\bigr) e v(t)=1+t.
  • Derivada de u: usar a cadeia. Se u(t)=\ln(h(t)) então u'(t)=\dfrac{h'(t)}{h(t)}. Com h(t)=1+t^{2} tem-se h'(t)=2t. Logo
u'(t)=\frac{2t}{1+t^{2}}.
  • Derivada de v: v'(t)=1.
Aplicando a regra do quociente:
y'(t)=\frac{\dfrac{2t}{1+t^{2}}\cdot(1+t)-\ln\bigl(1+t^{2}\bigr)\cdot 1}{(1+t)^{2}}.
Agora faço uma simplificação algébrica para deixar em forma racional única. Primeiro escrevo o numerador com denominador comum 1+t^{2}:
\text{num} = \frac{2t(1+t)}{1+t^{2}} - \ln\bigl(1+t^{2}\bigr) = \frac{2t(1+t) - (1+t^{2})\ln\bigl(1+t^{2}\bigr)}{1+t^{2}}.
Dividindo pelo denominador (1+t)^{2} resulta
y'(t)=\frac{2t(1+t) - (1+t^{2})\ln\bigl(1+t^{2}\bigr)}{(1+t)^{2}\,(1+t^{2})}.
Essa é uma forma totalmente simplificada e explícita da derivada da segunda componente. Uma alternativa menos “combinada” seria deixar
y'(t)=\frac{\dfrac{2t(1+t)}{1+t^{2}}-\ln\bigl(1+t^{2}\bigr)}{(1+t)^{2}},
que é equivalente.

Passo 4

Montagem do vetor derivada \alpha'(t) juntando as duas componentes derivadas e observação final sobre domínio.
Assim,
\alpha'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr)
com as expressões obtidas. Note que a segunda componente não está definida em t=-1 (denominador nulo); a primeira componente está definida para todo t.

Resposta

\alpha'(t)=\left(e^{t}t\bigl(t+2\bigr),\; \frac{2t(1+t) - (1+t^{2})\ln\bigl(1+t^{2}\bigr)}{(1+t)^{2}(1+t^{2})}\right)

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