Considere, em cada questão, a curva \alpha: U \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) dada por \[\alpha(t)=(x(t), y(t)) .
Verifique se a curva \alpha é contínua no valor indicado do parâmetro.
Considere
\alpha(t)= \begin{cases}\left(\frac{\sqrt{t}-\sqrt{2}}{t-2}, \sqrt{t+7}\right), & t \neq 2, \\\ \left(\frac{\sqrt{2}}{4}, 3\right), & t=2 .\end{cases}
Verifique se \alpha\] é contínua em \(t=2.

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha:U\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2\) definida por \[\alpha(t)= \begin{cases} \left(\dfrac{\sqrt{t}-\sqrt{2}}{t-2},\\ \sqrt{t+7}\right), & t\neq2,\\[6pt] \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4},\\\ 3\right), & t=2. \end{cases}
A pergunta é: verificar se \alpha\] é contínua em \(t=2.
Informações relevantes dadas:
  • Para t\neq2, as componentes são x(t)=\dfrac{\sqrt{t}-\sqrt{2}}{t-2} e y(t)=\sqrt{t+7}.
  • Em t=2, a curva foi definida explicitamente como \alpha(2)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4},\,3\right).
  • Para concluir continuidade em t=2 precisamos checar se \lim_{t\to2}\alpha(t)=\alpha(2).]

Passo 2

Lembrete prático (definição usada):
Uma curva vetorial \alpha(t)=(x(t),y(t)) é contínua em t_0 se, e somente se,
\lim_{t\to t_0}\alpha(t)=\alpha(t_0).
Para funções vetoriais em \mathbb{R}^2 isso equivale a verificar as componentes separadamente:
\lim_{t\to t_0}x(t)=x(t_0) \quad\text{e}\quad \lim_{t\to t_0}y(t)=y(t_0).
Vou então calcular \lim_{t\to2}x(t) e \lim_{t\to2}y(t) e comparar com as componentes de \alpha(2).

Passo 3

Cálculo do limite da segunda componente y(t)=\sqrt{t+7}.
A função raiz quadrada é contínua no seu domínio, logo posso substituir t=2 diretamente:
\lim_{t\to2}\sqrt{t+7}=\sqrt{2+7}=\sqrt{9}=3.
Isso coincide com a segunda componente de \alpha(2), que é 3.

Passo 4

Cálculo do limite da primeira componente
x(t)=\dfrac{\sqrt{t}-\sqrt{2}}{t-2},\qquad t\neq2.
Se tentarmos substituir t=2 diretamente obtemos a indeterminação 0/0. Uma técnica padrão é racionalizar o numerador: multiplicar numerador e denominador por \sqrt{t}+\sqrt{2}. Para t\neq2 temos
\frac{\sqrt{t}-\sqrt{2}}{t-2} = \frac{\sqrt{t}-\sqrt{2}}{t-2}\cdot\frac{\sqrt{t}+\sqrt{2}}{\sqrt{t}+\sqrt{2}} = \frac{t-2}{(t-2)\,(\sqrt{t}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{t}+\sqrt{2}}.
Agora podemos passar ao limite:
\lim_{t\to2}\frac{\sqrt{t}-\sqrt{2}}{t-2} = \lim_{t\to2}\frac{1}{\sqrt{t}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}.
Observe que a cancelamento de t-2 é válido porque estamos avaliando o limite para valores de t próximos de 2 mas diferentes de 2; a expressão simplificada vale para todo t\neq2, permitindo a substituição no limite.
Isso coincide com a primeira componente de \alpha(2), que foi dada como \dfrac{\sqrt{2}}{4}.

Passo 5

Como as duas componentes satisfazem
\lim_{t\to2}x(t)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}=x(2) \quad\text{e}\quad \lim_{t\to2}y(t)=3=y(2),
temos \lim_{t\to2}\alpha(t)=\alpha(2). Portanto \alpha é contínua em t=2.

Resposta

Sim, \alpha é contínua em t=2.

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