O enunciado dá a curva \alpha:U\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2\) definida por
\[\alpha(t)= \begin{cases} \left(\dfrac{\sqrt{t}-\sqrt{2}}{t-2},\\ \sqrt{t+7}\right), & t\neq2,\\[6pt] \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4},\\\ 3\right), & t=2. \end{cases}
A pergunta é: verificar se \alpha\] é contínua em \(t=2.
Informações relevantes dadas:
Para t\neq2, as componentes são x(t)=\dfrac{\sqrt{t}-\sqrt{2}}{t-2} e y(t)=\sqrt{t+7}.
Em t=2, a curva foi definida explicitamente como \alpha(2)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4},\,3\right).
Para concluir continuidade em t=2 precisamos checar se \lim_{t\to2}\alpha(t)=\alpha(2).]
Passo 2
Lembrete prático (definição usada):
Uma curva vetorial \alpha(t)=(x(t),y(t)) é contínua em t_0 se, e somente se,
\lim_{t\to t_0}\alpha(t)=\alpha(t_0).
Para funções vetoriais em \mathbb{R}^2 isso equivale a verificar as componentes separadamente:
Se tentarmos substituir t=2 diretamente obtemos a indeterminação 0/0. Uma técnica padrão é racionalizar o numerador: multiplicar numerador e denominador por \sqrt{t}+\sqrt{2}. Para t\neq2 temos
Observe que a cancelamento de t-2 é válido porque estamos avaliando o limite para valores de t próximos de 2 mas diferentes de 2; a expressão simplificada vale para todo t\neq2, permitindo a substituição no limite.
Isso coincide com a primeira componente de \alpha(2), que foi dada como \dfrac{\sqrt{2}}{4}.