Considere, em cada questão, a curva \alpha: U \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
\alpha(t)=(x(t), y(t)) .
Calcule \alpha^{\prime}(t), derivando coordenada a coordenada.
Seja
\alpha(t)=\left(\operatorname{{sen}}\left(t^{{2}}\right) \cos t, \sqrt{{1+t^{{3}}}}\right)
para valores de t em que a expressão esteja definida.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
  • Pede para calcular \alpha'(t) derivando coordenada a coordenada.
  • A curva é dada por
\alpha(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)\cos t,\\ \sqrt{1+t^{3}}\bigr).
  • Importante sobre domínio: a segunda coordenada \sqrt{1+t^{3}} só está definida quando 1+t^{3}\ge 0. Como a função t\mapsto t^{3} é estritamente crescente, isso equivale a
t^{3}\ge -1 \quad\Longleftrightarrow\quad t\ge -1.
Logo \alpha(t) está definida para t\in[-1,\infty).
Observação: mais adiante veremos que a derivada de \alpha pode não existir no ponto extremo t=-1; isso será tratado na parte de derivação.

Passo 2

Estratégia geral (sem calcular ainda): derivamos coordenada a coordenada. Ou seja,
\alpha'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr).
Vou recordar e usar as regras básicas que precisamos:
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são diferenciáveis, então
(uv)'=u'v+uv'.
  • Regra da cadeia: se h(t)=g(f(t)) e g e f são diferenciáveis, então
h'(t)=g'\bigl(f(t)\bigr)\cdot f'(t).
  • Regra do poder (para p\in\mathbb{R}): se h(t)=(f(t))^{p} então
h'(t)=p(f(t))^{p-1}\,f'(t).
Vou aplicar essas regras passo a passo em cada coordenada.

Passo 3

Derivando a primeira coordenada x(t)=\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)\cos t.
  1. Identificar as funções para a regra do produto: tome
u(t)=\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr),\qquad v(t)=\cos t.
Então x(t)=u(t)\,v(t) e pela regra do produto
x'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
  1. Calcular u'(t). Aqui u(t)=\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr) é uma composição \operatorname{sen}(z) com z=t^{2}. Pela regra da cadeia:
  • derivada de \operatorname{sen}(z) em relação a z é \cos z;
  • derivada de z=t^{2} em relação a t é 2t.
    Portanto
u'(t)=\cos\bigl(t^{2}\bigr)\cdot 2t = 2t\cos\bigl(t^{2}\bigr).
  1. Calcular v'(t). Sabemos que
v(t)=\cos t\quad\Longrightarrow\quad v'(t)=-\sin t.
  1. Substituir em x'(t)=u'v+uv':
x'(t)=\bigl(2t\cos\bigl(t^{2}\bigr)\bigr)\cos t+\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)\cdot\bigl(-\sin t\bigr).
  1. Organizando (opção de escrita mais limpa):
x'(t)=2t\cos\bigl(t^{2}\bigr)\cos t-\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)\sin t.

Passo 4

Derivando a segunda coordenada y(t)=\sqrt{1+t^{3}}.
  1. Escrever como potência para aplicar a regra do poder:
y(t)=(1+t^{3})^{1/2}.
  1. Aplicar a regra da cadeia combinada com a regra do poder:
  • primeiro a derivada externa: se w(z)=z^{1/2} então w'(z)=\tfrac{1}{2}z^{-1/2}.
  • a função interna é z(t)=1+t^{3} cuja derivada é z'(t)=3t^{2}.
    Pelo produto das duas:
y'(t)=\frac{1}{2}(1+t^{3})^{-1/2}\cdot 3t^{2}.
  1. Simplificar a expressão:
y'(t)=\frac{3t^{2}}{2\sqrt{1+t^{3}}}.
  1. Observação sobre existência: essa fórmula só faz sentido quando \sqrt{1+t^{3}}\neq 0, ou seja, quando 1+t^{3}>0. Em t=-1 temos 1+t^{3}=0 e o quociente acima não está definido — portanto y'(t) existe para t>-1 (e é infinita/indefinida em t=-1). Assim \alpha'(t) existirá para t>-1.

Passo 5

Juntando as duas coordenadas para obter \alpha'(t).
A derivada coordenada a coordenada é
\alpha'(t)=\Bigl(x'(t),\,y'(t)\Bigr)
com os resultados obtidos:
x'(t)=2t\cos\bigl(t^{2}\bigr)\cos t-\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)\sin t, \qquad y'(t)=\frac{3t^{2}}{2\sqrt{1+t^{3}}}.
Lembrete final: \alpha'(t) está definida nos pontos t>-1. Em t=-1 a curva \alpha está definida mas a derivada não (a segunda coordenada tem derivada não definida ali).

Resposta

\alpha'(t)=\left(2t\cos\bigl(t^{2}\bigr)\cos t-\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)\sin t,\\ \dfrac{3t^{2}}{2\sqrt{1+t^{3}}}\right)

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