Considere, em cada questão, a curva
dada por
Calcule
, derivando coordenada a coordenada.
Seja
para valores de
em que a expressão esteja definida.
Seja
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
- Pede para calcular
derivando coordenada a coordenada. - A curva é dada por
- Importante sobre domínio: a segunda coordenada
só está definida quando . Como a função é estritamente crescente, isso equivale a
Logo
está definida para
.
Observação: mais adiante veremos que a derivada de pode não existir no ponto extremo
; isso será tratado na parte de derivação.
Observação: mais adiante veremos que a derivada de
Passo 2
Estratégia geral (sem calcular ainda): derivamos coordenada a coordenada. Ou seja,
Vou recordar e usar as regras básicas que precisamos:
- Regra do produto: se
e são diferenciáveis, então
- Regra da cadeia: se
e e são diferenciáveis, então
- Regra do poder (para
): se então
Vou aplicar essas regras passo a passo em cada coordenada.
Passo 3
Derivando a primeira coordenada
.
- Identificar as funções para a regra do produto: tome
Então
e pela regra do produto
- Calcular
. Aqui é uma composição com . Pela regra da cadeia:
- derivada de
em relação a é ; - derivada de
em relação a é .
Portanto
- Calcular
. Sabemos que
- Substituir em
:
- Organizando (opção de escrita mais limpa):
Passo 4
Derivando a segunda coordenada
.
- Escrever como potência para aplicar a regra do poder:
- Aplicar a regra da cadeia combinada com a regra do poder:
- primeiro a derivada externa: se
então . - a função interna é
cuja derivada é .
Pelo produto das duas:
- Simplificar a expressão:
- Observação sobre existência: essa fórmula só faz sentido quando
, ou seja, quando . Em temos e o quociente acima não está definido — portanto existe para (e é infinita/indefinida em ). Assim existirá para .
Passo 5
Juntando as duas coordenadas para obter
.
A derivada coordenada a coordenada é
com os resultados obtidos:
Lembrete final:
está definida nos pontos
. Em
a curva
está definida mas a derivada não (a segunda coordenada tem derivada não definida ali).