Considere, em cada questão, a curva \alpha: U \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
\alpha(t)=(x(t), y(t)) .
Para cada curva, determine a equação da reta tangente no ponto correspondente ao valor indicado do parâmetro.
Considere
\alpha(t)=\left(t^{2}+1, t^{3}-2 t\right), \quad t=1
Determine a reta tangente à curva no ponto correspondente a t=1.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada e pede a reta tangente no ponto correspondente a t=1. Informações fornecidas:
  • A curva é \alpha(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=t^{2}+1 e y(t)=t^{3}-2t.
  • O parâmetro onde queremos a tangente é t=1.
    O que precisamos determinar: a equação da reta tangente à curva no ponto gerado por t=1.

Passo 2

Primeiro encontramos as coordenadas do ponto da curva em t=1. Calculando componente a componente:
  • x(1)=1^{2}+1=2.
  • y(1)=1^{3}-2\cdot1=1-2=-1.
    Portanto o ponto de tangência é (2,-1).

Passo 3

Agora precisamos do vetor tangente à curva em t=1. Para curvas paramétricas, o vetor tangente é dado pela derivada componente a componente:
  • x'(t)=\dfrac{d}{dt}\big(t^{2}+1\big)=2t.
  • y'(t)=\dfrac{d}{dt}\big(t^{3}-2t\big)=3t^{2}-2.
    Aqui x'(t) e y'(t) são as componentes do vetor velocidade \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)), que aponta na direção da tangente.

Passo 4

Avalia-se a derivada em t=1:
  • x'(1)=2\cdot1=2.
  • y'(1)=3\cdot1^{2}-2=3-2=1.
    Logo o vetor tangente em t=1 é \alpha'(1)=(2,1). Esse vetor dá a direção da reta tangente.

Passo 5

Há duas formas comuns de escrever a reta tangente.
  1. Forma paramétrica: usando o ponto (2,-1) e o vetor direcional (2,1),
L(s)=(2,-1)+s(2,1),\qquad s\in\mathbb{R}.
Isso significa x=2+2s e y=-1+s.
  1. Forma cartesiana (declividade/coeficiente angular): se x'(1)\neq0 podemos obter a inclinação m por
m=\frac{y'(1)}{x'(1)}=\frac{1}{2}.
A equação ponto-declive é
y-(-1)=m\big(x-2\big),
ou seja
y+1=\frac{1}{2}(x-2).

Passo 6

Simplificando a equação cartesiana:
y+1=\frac{1}{2}x-1\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{2}x-2.
Verificação rápida: substituindo x=2 obtemos y=\tfrac{1}{2}\cdot2-2=1-2=-1, que é o ponto de tangência — ótimo, está coerente.

Resposta

y=\dfrac{1}{2}x-2

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