Considere, em cada questão, a curva
dada por
Para cada curva, determine a equação da reta tangente no ponto correspondente ao valor indicado do parâmetro.
Considere
Determine a reta tangente à curva no ponto correspondente a
.
Considere
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada e pede a reta tangente no ponto correspondente a
. Informações fornecidas:
- A curva é
com e . - O parâmetro onde queremos a tangente é
.
O que precisamos determinar: a equação da reta tangente à curva no ponto gerado por.
Passo 2
Primeiro encontramos as coordenadas do ponto da curva em
. Calculando componente a componente:
-
. -
.
Portanto o ponto de tangência é.
Passo 3
Agora precisamos do vetor tangente à curva em
. Para curvas paramétricas, o vetor tangente é dado pela derivada componente a componente:
-
. -
.
Aquie são as componentes do vetor velocidade , que aponta na direção da tangente.
Passo 4
Avalia-se a derivada em
:
-
. -
.
Logo o vetor tangente emé . Esse vetor dá a direção da reta tangente.
Passo 5
Há duas formas comuns de escrever a reta tangente.
- Forma paramétrica: usando o ponto
e o vetor direcional ,
Isso significa
e
.
- Forma cartesiana (declividade/coeficiente angular): se
podemos obter a inclinação por
A equação ponto-declive é
ou seja
Passo 6
Simplificando a equação cartesiana:
Verificação rápida: substituindo
obtemos
, que é o ponto de tangência — ótimo, está coerente.