Considere, em cada questão, a curva
dada por
Para cada curva, determine a equação da reta tangente no ponto correspondente ao valor indicado do parâmetro.
Considere
Determine a reta tangente à curva no ponto correspondente a
.
Considere
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
com componentes
e pede: determinar a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao parâmetro
.
Informações fornecidas relevantes:
- A função
é . - A função
é . - O parâmetro onde queremos a tangente é
. - O que se deve encontrar: a reta tangente (equação da reta) no ponto
.
Passo 2
Primeiro precisamos do ponto da curva correspondente a
, isto é
.
Calcule
:
Calcule
:
Portanto o ponto da tangência é
.
Passo 3
Agora precisamos do vetor tangente (a derivada da curva) em
. A derivada de
é
Isto representa a velocidade da curva; geometricamente é um vetor que aponta na direção da reta tangente.
Calcule
. Como
,
Calcule
. Como
, usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz: se
então
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando:
Passo 4
Avalie as derivadas em
para obter o vetor tangente no ponto:
Portanto
Esse vetor indica que a reta tangente tem direção com componente
em
e
em
. O declive (slope) da reta tangente, visto como reta
, é
Passo 5
Com o ponto
e o coeficiente angular
, usamos a forma ponto-de-reta (\emph{point-slope}):
Simplificando essa expressão obtemos a equação explícita da reta tangente:
Como alternativa paramétrica (às vezes útil): a reta tangente pode ser escrita como
que corresponde à mesma reta.