Considere, em cada questão, a curva \alpha: U \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
\alpha(t)=(x(t), y(t)) .
Para cada curva, determine a equação da reta tangente no ponto correspondente ao valor indicado do parâmetro.
Considere
\alpha(t)=\left(e^{t}, \frac{t}{1+t}\right), \quad t=0 .
Determine a reta tangente à curva no ponto correspondente a t=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva \alpha: U \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 com componentes
\alpha(t) = (x(t),y(t)) = \left(e^{t}, \frac{t}{1+t}\right)
e pede: determinar a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao parâmetro t=0.
Informações fornecidas relevantes:
  • A função x(t) é x(t)=e^{t}.
  • A função y(t) é y(t)=\dfrac{t}{1+t}.
  • O parâmetro onde queremos a tangente é t=0.
  • O que se deve encontrar: a reta tangente (equação da reta) no ponto \alpha(0).

Passo 2

Primeiro precisamos do ponto da curva correspondente a t=0, isto é \alpha(0)=(x(0),y(0)).
Calcule x(0):
x(0)=e^{0}=1.
Calcule y(0):
y(0)=\frac{0}{1+0}=0.
Portanto o ponto da tangência é \alpha(0)=(1,0).

Passo 3

Agora precisamos do vetor tangente (a derivada da curva) em t. A derivada de \alpha é
\alpha'(t)=(x'(t),y'(t)).
Isto representa a velocidade da curva; geometricamente é um vetor que aponta na direção da reta tangente.
Calcule x'(t). Como x(t)=e^{t},
x'(t)=e^{t}.
Calcule y'(t). Como y(t)=\dfrac{t}{1+t}, usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz: se y(t)=\dfrac{u(t)}{v(t)} então
y'(t)=\frac{u'(t)v(t)-u(t)v'(t)}{v(t)^2}.
Aqui u(t)=t e v(t)=1+t. Então u'(t)=1 e v'(t)=1. Aplicando:
y'(t)=\frac{1\cdot(1+t)-t\cdot1}{(1+t)^2}=\frac{1+t-t}{(1+t)^2}=\frac{1}{(1+t)^2}.

Passo 4

Avalie as derivadas em t=0 para obter o vetor tangente no ponto:
x'(0)=e^{0}=1,\qquad y'(0)=\frac{1}{(1+0)^2}=1.
Portanto
\alpha'(0)=(1,1).
Esse vetor indica que a reta tangente tem direção com componente 1 em x e 1 em y. O declive (slope) da reta tangente, visto como reta y=f(x), é
m=\frac{dy}{dx}\Big|_{t=0}=\frac{y'(0)}{x'(0)}=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Com o ponto (1,0) e o coeficiente angular m=1, usamos a forma ponto-de-reta (\emph{point-slope}):
y-0 = 1\cdot(x-1).
Simplificando essa expressão obtemos a equação explícita da reta tangente:
y = x-1.
Como alternativa paramétrica (às vezes útil): a reta tangente pode ser escrita como
(x,y)=(1,0)+s(1,1),\quad s\in\mathbb{R},
que corresponde à mesma reta.

Resposta

y = x - 1

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