Considere, em cada um dos seguintes itens, o operador T. Determine a matriz canônica associada a esse operador, o polinômio característico de T, os autovalores e os subespaços associados aos autovalores.
T: R^{2} \rightarrow R^{2} definido por T(x, y)=(4 x+5 y, 2 x+y).
Resposta: A=\left(\begin{array}{cc}4 & 5 \\ 2 & 1\end{array}\right), p(\lambda)=\lambda^{2}-5 \lambda-6, \lambda=-1, \lambda=6\\ V_{-1}=\{(x,-x) ; x \in R\}=[ (1,-1)],\end{array} V_{-1}=\left\{\left(x, \frac{5}{2} x\right) ; x \in R\right\}=\left[\left(1, \frac{5}{2}\right)\right] \text { ou }[(2,5)] .

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y) = (4x + 5y,\;2x + y).
Queremos a matriz de T na base canônica, o polinômio característico de T, os autovalores e os subespaços próprios associados.

Passo 2

Para achar a matriz canônica A, aplicamos T aos vetores da base canônica e_1=(1,0) e e_2=(0,1):
T(e_1) = T(1,0) = (4,2), \quad T(e_2) = T(0,1) = (5,1).
Logo, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix}4 & 5 \\[6pt] 2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

O polinômio característico p(\lambda) de A é dado por
p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}4-\lambda & 5 \\[3pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda) - 10 = \lambda^2 - 5\lambda - 6.]

Passo 4

Para obter os autovalores, resolvemos
\lambda^2 - 5\lambda - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (\lambda - 6)(\lambda + 1) = 0,
de onde
\lambda_1 = 6, \quad \lambda_2 = -1.

Passo 5

Agora achamos os subespaços próprios resolvendo (A - \lambda I)v = 0.
Para \lambda = 6:
A - 6I = \begin{pmatrix}-2 & 5 \\[3pt] 2 & -5\end{pmatrix},
a equação -2x + 5y = 0 leva a y = \tfrac{2}{5}x. Assim
V_{6} = \{(x, \tfrac{2}{5}x)\colon x\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(5,2)\}.
Para \lambda = -1:
A + I = \begin{pmatrix}5 & 5 \\[3pt] 2 & 2\end{pmatrix},
a equação 5x + 5y = 0 leva a y = -x. Logo
V_{-1} = \{(x,-x)\colon x\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(1,-1)\}.]

Resposta

A matriz canônica de T é
A = \begin{pmatrix}4 & 5 \\[3pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
p(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda - 6.
Os autovalores são \lambda = 6 e \lambda = -1, com subespaços próprios
V_{6} = \operatorname{span}\{(5,2)\}, \qquad V_{-1} = \operatorname{span}\{(1,-1)\}.]

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