Dê, se possível, as transformações lineares pedidas abaixo, através de uma matriz associada. T_{4}: R^{3} \rightarrow M_{2}(R), N\left(T_{4}\right)=[(1,1,1)]
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
T_{4}: \mathbb{R}^{3}\to M_{2}(\mathbb{R})
cujo núcleo seja
N(T_{4})=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
Para construir isso usaremos o Teorema do Posto–Nulidade e a representação de M_{2}(\mathbb{R}) como \mathbb{R}^{4} pela base canônica \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}.
Passo 2
Pela dimensão do domínio temos \dim\mathbb{R}^{3}=3 e \dim N(T_{4})=1.
Pelo Teorema do Posto–Nulidade,
\operatorname{rank}(T_{4})=3-1=2.
Logo T_{4} tem posto 2 e sua matriz associada A em \mathbb{R}^{4}\times\mathbb{R}^{3} deve ser 4\times3 com posto 2.
Passo 3
Escrevendo T_{4} como A:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4}, o núcleo ser \operatorname{span}\{(1,1,1)\} equivale a
A\,(1,1,1)^{T}=0.
Isto significa que, se \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} são as colunas de A, então \mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}+\mathbf{v}_{3}=0
e \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\} deve ser um conjunto linearmente independente em \mathbb{R}^{4}.