Dê, se possível, as transformações lineares pedidas abaixo, através de uma matriz associada.
T_{4}: R^{3} \rightarrow M_{2}(R), N\left(T_{4}\right)=[(1,1,1)]

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T_{4}: \mathbb{R}^{3}\to M_{2}(\mathbb{R})
cujo núcleo seja
N(T_{4})=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
Para construir isso usaremos o Teorema do Posto–Nulidade e a representação de M_{2}(\mathbb{R}) como \mathbb{R}^{4} pela base canônica
\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}.

Passo 2

Pela dimensão do domínio temos \dim\mathbb{R}^{3}=3 e \dim N(T_{4})=1.
Pelo Teorema do Posto–Nulidade,
\operatorname{rank}(T_{4})=3-1=2.
Logo T_{4} tem posto 2 e sua matriz associada A em \mathbb{R}^{4}\times\mathbb{R}^{3} deve ser 4\times3 com posto 2.

Passo 3

Escrevendo T_{4} como A:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4}, o núcleo ser \operatorname{span}\{(1,1,1)\} equivale a
A\,(1,1,1)^{T}=0.
Isto significa que, se \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} são as colunas de A, então
\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}+\mathbf{v}_{3}=0
e \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\} deve ser um conjunto linearmente independente em \mathbb{R}^{4}.

Passo 4

Escolhemos, por simplicidade,
\mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
e, para satisfazer \mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}+\mathbf{v}_{3}=0,
\mathbf{v}_{3}=-\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2} =\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Assim \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\} é independente e \mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}+\mathbf{v}_{3}=0.

Passo 5

A matriz A cujas colunas são \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Interpretando \mathbb{R}^{4} como M_{2}(\mathbb{R}) na ordem (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}), temos
T_{4}(x,y,z) = A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x - z\\\ y - z\\\\ 0\\\\ 0 \end{pmatrix} \longleftrightarrow \begin{pmatrix} x - z & y - z\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A transformação linear pode ser escolhida como
T_{4}(x,y,z) =\begin{pmatrix} x - z & y - z\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}
cuja matriz associada, na base canônica de \mathbb{R}^{3} e na base \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} de M_{2}(\mathbb{R}), é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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