Considere, em cada um dos seguintes itens, o operador
. Determine a matriz canônica associada a esse operador, o polinômio característico de
, os autovalores e os subespaços associados aos autovalores.
, definido por
.
Resposta:
,
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
e pede que a gente encontre
- a matriz de
na base canônica, - o polinômio característico de
, - os autovalores e
- os subespaços próprios associados a cada autovalor.
Passo 2
Para montar a matriz canônica, calculamos as imagens dos vetores da base
:
Esses resultados formam as colunas de
, logo
Passo 3
Como
é triangular, o polinômio característico é o produto
. Portanto
Passo 4
Os autovalores são as raízes de
:
Passo 5
Para
de onde
livres. Logo
e uma base pode ser
.
Passo 6
Para
de onde
, com
livre. Assim
e uma base conveniente é
.