Considere, em cada um dos seguintes itens, o operador T. Determine a matriz canônica associada a esse operador, o polinômio característico de T, os autovalores e os subespaços associados aos autovalores. T: R^{3} \rightarrow R^{3}, definido por T(x, y, z)=(3 x-3 y-4 z, 3 y+5 z,-z).
O enunciado pede para representar o operador linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
T(x,y,z) = (3x - 3y - 4z,\;3y + 5z,\;-z)
na base canônica, depois encontrar seu polinômio característico, os autovalores e, finalmente, os subespaços próprios (eigenspaces) correspondentes. Vamos usar a construção da matriz a partir das imagens dos vetores da base canônica e em seguida resolver \det(A-\lambda I)=0 e (A-\lambda I)v=0.
Passo 2
Para achar a matriz canônica A de T, aplicamos T aos vetores da base canônica e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) e tomamos essas imagens como colunas de A: