Seja R a distância entre átomos vizinhos mais próximos numa rede cúbica de faces centradas. A energia da rede é E(R).
(a) Relacione a pressão externa \operatorname{com} E(R).
(b) Sendo o módulo de compressibilidade B definido por
\Delta p=-B \frac{\Delta V}{V}
onde V é o volume, expresse B em função de derivadas de E(R). [Recorde que trabalho realizado numa compressão é d W=-p d V.]
(c) Repita o exercício para uma rede cúbica simples.

Passo 1

O enunciado dá a energia da rede E(R) em função da distância entre vizinhos mais próximos R e pede:
  1. A pressão externa p em termos de E(R).
  2. O módulo de compressibilidade
\Delta p = -B\,\frac{\Delta V}{V}
expressa em derivadas de E(R).
3. Repetir (a) e (b) para rede cúbica simples.
Conteúdo: relações termodinâmicas dW=-p\,dV, p=-\dfrac{dE}{dV} e B=-V\,\dfrac{dp}{dV}. Vamos precisar também da relação entre o volume por átomo V e R em cada tipo de rede.

Passo 2

Em geral, para uma rede cujo volume por átomo é V(R), a variação infinitesimal de energia dE a trabalho reversível satisfaz
dE = dW = -p\,dV.
Logo, isolando p,
p \;=\; -\,\frac{dE}{dV} \;=\; -\,\frac{dE/dR}{dV/dR}\,.

Passo 3

Rede cúbica de faces centradas (FCC):
  • Lado do cubo: a.
  • Nearest-neighbor distance: R = a/\sqrt{2}, logo a = \sqrt{2}\,R.
  • Volume da cela unitária: a^3=(\sqrt{2}\,R)^3=2\sqrt{2}\,R^3.
  • Há 4 átomos por cela, então o volume por átomo é
V(R)=\frac{a^3}{4}=\frac{2\sqrt{2}\,R^3}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2}\,R^3.

Passo 4

Calcular p(R) na FCC:
\frac{dV}{dR} =3\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,R^2,
p(R) =-\frac{dE/dR}{dV/dR} =-\frac{E'(R)}{3(\sqrt{2}/2)\,R^2} =-\frac{2}{3\sqrt{2}}\;\frac{E'(R)}{R^2}.
Uma forma equivalente é
p(R) =-\frac{R}{3\,V(R)}\,E'(R).

Passo 5

Agora o módulo de compressibilidade
B=-V\,\frac{dp}{dV}.
Usando a regra da cadeia dp/dV=(dp/dR)/(dV/dR) e as expressões acima, chega-se a
B =\frac{R^2\,E''(R)-2\,R\,E'(R)}{9\,V(R)}.
Substituindo V(R)=\frac{\sqrt{2}}{2}R^3 se desejar o resultado explícito em R.

Passo 6

Para rede cúbica simples (SC):
  • Nearest-neighbor distance R=a.
  • Volume por átomo V(R)=R^3.
  • dV/dR=3R^2.
    Logo
p(R) =-\frac{E'(R)}{3\,R^2}, \qquad B =\frac{R^2E''(R)-2R\,E'(R)}{9\,R^3}.

Resposta

(a) Em FCC:
p(R) =-\frac{E'(R)}{dV/dR} =-\frac{2}{3\sqrt{2}}\frac{E'(R)}{R^2} =-\frac{R}{3V(R)}\,E'(R).
(b)
B =-V\frac{dp}{dV} =\frac{R^2E''(R)-2R\,E'(R)}{9\,V(R)},
com V(R)=\tfrac{\sqrt2}{2}R^3.
(c) Para cúbica simples:
p(R)=-\frac{E'(R)}{3R^2}, \quad B=\frac{R^2E''(R)-2R\,E'(R)}{9R^3}.

Exercícios relacionados