Considere uma rede linear de iões de carga \pm Q. A energia de repulsão entre iões vizinhos é A / r^{3}. Calcule:
(a) A energia da cadeia linear em função da separação interiónica R.
(b) Determine a distância interiónica de equilíbrio.
(c) O módulo de Young ( Y ) da cadeia. [Definido por: F=Y \Delta l / l onde F é a força aplicada, l o comprimento de equilíbrio e \Delta l o alongamento.]

Passo 1

Estamos tratando de uma cadeia infinita unidimensional de íons alternados +Q e -Q separados por distância R. Há duas contribuições à energia por íon:
  1. A atração (Coulomb) de longo alcance com todos os outros íons.
  2. A repulsão de curto alcance apenas entre vizinhos imediatos, cujo potencial é dado por A/r^{3}.
Para resolver usaremos a soma de Madelung para a parte Coulombiana e depois acrescentaremos o termo de repulsão, encontrando (a) E(R), (b) o R de equilíbrio e (c) o módulo de Young Y via expansão quadrática em torno do mínimo.

Passo 2

Cálculo da energia Coulombiana por íon:
Cada íon interage com os íons de mesma carga a distâncias nR (mesmo sinal, repulsão) e com os de carga oposta também a distâncias nR. O somatório dá
U_{\rm coul} =2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,nR} =\,-\frac{2Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n} \,.
Como \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}/n=-\ln2, define-se a constante de Madelung da cadeia unidimensional
M \;=\;2\ln2
e obtém-se
U_{\rm coul}(R) =-\,\frac{M\,Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,R} \,.

Passo 3

Energia de repulsão de curto alcance por íon: cada íon tem dois vizinhos mais próximos (um de cada lado), de modo que
U_{\rm rep}(R)=2\,\frac{A}{R^{3}}.
Portanto a energia total por íon é
E(R) =U_{\rm coul}(R)+U_{\rm rep}(R) =-\,\frac{M\,Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,R} +2\,\frac{A}{R^{3}} \quad\text{(resposta do item (a)).}

Passo 4

Distância de equilíbrio R_{0}: impomos \displaystyle\frac{dE}{dR}\Big|_{R_{0}}=0.
\frac{dE}{dR} =\frac{M\,Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,R^{2}} -6\,\frac{A}{R^{4}} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{M\,Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,R_{0}^{2}} =\frac{6A}{R_{0}^{4}}
\boxed{% R_{0} =\sqrt{\frac{6A\,4\pi\varepsilon_{0}}{M\,Q^{2}}} =\sqrt{\frac{6A\,4\pi\varepsilon_{0}}{2\ln2\;Q^{2}}} } \quad\text{(item (b)).}

Passo 5

Módulo de Young Y: para pequenas variações \Delta R em torno de R_{0} expandimos
E(R)\approx E(R_{0})+\tfrac12\,E''(R_{0})\,(R-R_{0})^{2},
a força de restituição é F=-\frac{dE}{dR}\approx -E''(R_{0})\Delta R. Pela definição unidimensional
F=Y\,\frac{\Delta R}{R_{0}} \;\;\Longrightarrow\;\; Y =R_{0}\,E''(R_{0}).
Calculamos
E'(R)=\frac{M\,Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,R^{2}}-6\,\frac{A}{R^{4}}, \quad E''(R)=-2\,\frac{M\,Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,R^{3}}+24\,\frac{A}{R^{5}}.
Em R_{0} use-se \frac{M\,Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,R_{0}^{2}}=6A/R_{0}^{4} para obter
E''(R_{0}) =-2\frac{6A}{R_{0}^{5}}+24\frac{A}{R_{0}^{5}} =12\,\frac{A}{R_{0}^{5}} \;\;\Longrightarrow\;\; \boxed{% Y=R_{0}\,E''(R_{0})=12\,\frac{A}{R_{0}^{4}} } \quad\text{(item \text{(c)}).}

Resposta

(a) \displaystyle E(R)=-\frac{2\ln2\;Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,R}+2\,\frac{A}{R^{3}}.
(b) \displaystyle R_{0}=\sqrt{\frac{6A\,4\pi\varepsilon_{0}}{2\ln2\,Q^{2}}}.
(c) \displaystyle Y=12\,\frac{A}{R_{0}^{4}}.

Exercícios relacionados