Considere uma rede linear de iões de carga \pm Q. A energia de repulsão entre iões vizinhos é A / r^{3}. Calcule:
(a) A energia da cadeia linear em função da separação interiónica R.
(b) Determine a distância interiónica de equilíbrio.
(c) O módulo de Young ( Y ) da cadeia. [Definido por: F=Y \Delta l / l onde F é a força aplicada, l o comprimento de equilíbrio e \Delta l o alongamento.]
Passo 1
Estamos tratando de uma cadeia infinita unidimensional de íons alternados +Q e -Q separados por distância R. Há duas contribuições à energia por íon:
A atração (Coulomb) de longo alcance com todos os outros íons.
A repulsão de curto alcance apenas entre vizinhos imediatos, cujo potencial é dado por A/r^{3}.
Para resolver usaremos a soma de Madelung para a parte Coulombiana e depois acrescentaremos o termo de repulsão, encontrando (a) E(R), (b) o R de equilíbrio e (c) o módulo de Young Y via expansão quadrática em torno do mínimo.
Passo 2
Cálculo da energia Coulombiana por íon:
Cada íon interage com os íons de mesma carga a distâncias nR (mesmo sinal, repulsão) e com os de carga oposta também a distâncias nR. O somatório dá