Considere uma caixa com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: e . O custo do material usado em sua confecção 0,81 \mathrm{cm}^{2}
b) Qual o valor exato do acréscimo no custo da caixa?
10,47$

Passo 1

O enunciado dá uma caixa cilíndrica com tampa de raio r=2,cm e altura h=5,cm, cujo custo é de R$ 0,81 por c m^2 de área. As dimensões passam a
r+ De<a r = 2cdot1,10 = 2,2 cm, h+ De<a h = 5cdot1,02 = 5,1 cm
Vamos chamar de C(r,h) o custo total e calcular (a) o acréscimo aproximado usando diferenciais e (b) o acréscimo exato.

Passo 2

A área total do cilindro com tampa e fundo é
A(r,h)=2pi r^2+2pi r h,
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C(r,h)=0,81,A(r,h)=0,81l(2pi r^2+2pi r hr)
As derivadas parciais são
partial Cpartial r =0,81cdot2pi,(2r+h), partial Cpartial h =0,81cdot2pi,r

Passo 3

Como De<a r=0,1cdot2=0,2 cm e De<a h=0,02cdot5=0,1 cm, o acréscimo aproximado é
dC =partial Cpartial r,dr+partial Cpartial h,dh =l[0,81cdot2pi,(2cdot2+5)r]cdot0,2 +l[0,81cdot2picdot2r]cdot0,1 approx10,18
Logo, o acréscimo aproximado no custo é cerca de R$ 10,17.

Passo 4

O acréscimo exato no custo é
De<a C =C(2,2,5,1)-C(2,5) =0,81cdot2pil[(2,2)^2+2,2cdot5,1-l(2^2+2cdot5r)r] =0,81cdot2picdot2,06 =3,3372piapprox10,47

Resposta

a) O acréscimo aproximado no custo é R$ .
b) O acréscimo exato no custo é .

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