Considere f(x)=(x+2)(x-2)^3.
Calcule f^prime(x) e f^prime prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a primeira e a segunda derivada da função f(x) = (x+2)(x-2)^3 . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente, vamos usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia para derivar funções. Vamos precisar entender como aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) . A função f(x) é um produto de duas funções: u(x) = (x+2) e v(x) = (x-2)^3 . Quando temos o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto, que diz que:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de u(x) = (x+2) :
u'(x) = 1
  1. Derivada de v(x) = (x-2)^3 usando a Regra da Cadeia:
v'(x) = 3(x-2)^2 cdot 1 = 3(x-2)^2
Agora, aplicando a Regra do Produto:
f'(x) = 1 cdot (x-2)^3 + (x+2) cdot 3(x-2)^2

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da primeira derivada f'(x) :
f'(x) = (x-2)^3 + 3(x+2)(x-2)^2
Podemos fatorar (x-2)^2 dos dois termos:
f'(x) = (x-2)^2 [ (x-2) + 3(x+2) ]
Agora, simplificamos dentro dos colchetes:
(x-2) + 3(x+2) = x - 2 + 3x + 6 = 4x + 4
Então, a primeira derivada fica:
f'(x) = (x-2)^2 (4x + 4) = 4(x-2)^2 (x + 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada f''(x) . Já temos f'(x) = 4(x-2)^2 (x + 1) . Novamente, é um produto de duas funções:
u(x) = 4(x-2)^2 e v(x) = (x + 1) .
Aplicando a Regra do Produto:
f''(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Calculando cada parte:
  1. Derivada de u(x) = 4(x-2)^2 :
u'(x) = 4 cdot 2(x-2) cdot 1 = 8(x-2)
  1. Derivada de v(x) = (x + 1) :
v'(x) = 1
Aplicando a Regra do Produto:
f''(x) = 8(x-2)(x + 1) + 4(x-2)^2 cdot 1

Passo 5

Vamos simplificar a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = 8(x-2)(x + 1) + 4(x-2)^2
Podemos fatorar 4(x-2) dos dois termos:
f''(x) = 4(x-2) [ 2(x + 1) + (x-2) ]
Simplificando dentro dos colchetes:
2(x + 1) + (x - 2) = 2x + 2 + x - 2 = 3x
Então, a segunda derivada fica:
f''(x) = 4(x-2) cdot 3x = 12x(x - 2)

Resposta

A primeira derivada de f(x) é:
f'(x) = 4(x-2)^2 (x + 1)
E a segunda derivada de f(x) é:
f''(x) = 12x(x - 2)

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