Considere
.
Calcule
e
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a primeira e a segunda derivada da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente, vamos usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia para derivar funções. Vamos precisar entender como aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. A função
é um produto de duas funções:
e
. Quando temos o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto, que diz que:
Vamos calcular cada parte:
- Derivada de
:
- Derivada de
usando a Regra da Cadeia:
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da primeira derivada
:
Podemos fatorar
dos dois termos:
Agora, simplificamos dentro dos colchetes:
Então, a primeira derivada fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Já temos
. Novamente, é um produto de duas funções:
Aplicando a Regra do Produto:
Calculando cada parte:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Aplicando a Regra do Produto:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda derivada
:
Podemos fatorar
dos dois termos:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a segunda derivada fica:
Resposta
A primeira derivada de
é:
E a segunda derivada de
é: