Considere
.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
, bem como seus pontos críticos e os máximos e mínimos, caso existam.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo, além de encontrar os pontos críticos e os máximos e mínimos que podem existir. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, principalmente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como
muda quando
muda. Para derivar
, vamos usar a regra do produto, que diz que se você tem duas funções multiplicando, a derivada é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Então, aplicando a regra do produto:
Agora, vamos derivar cada parte:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Fatorando
:
Agora, simplificando o que está dentro dos colchetes:
Portanto, a derivada fica:
Podemos fatorar mais:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde
ou onde
não existe. No nosso caso, a derivada
existe para todos os
, então só precisamos resolver
:
Isso acontece quando:
Resolvendo:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal da derivada
nos intervalos determinados pelos pontos críticos
e
.
Os intervalos são:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e ver o sinal de
:
- Para
, por exemplo :
Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Para
, por exemplo :
Então, a função está crescendo nesse intervalo.
- Para
, por exemplo :
Então, a função continua crescendo nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos identificar os máximos e mínimos utilizando os pontos críticos e o comportamento da derivada nos intervalos.
-
Em
: - À esquerda de
, a derivada é negativa (função decrescendo). - À direita de
, a derivada é positiva (função crescendo). - Isso indica que há um mínimo relativo em
.
- À esquerda de
-
Em
: - A derivada é zero, mas analisando o comportamento:
- À esquerda de
, a derivada é positiva (função crescendo). - À direita de
, a derivada continua positiva (função crescendo).
- À esquerda de
- Como não há mudança no sinal da derivada,
é um ponto de inflexão e não um máximo ou mínimo.
- A derivada é zero, mas analisando o comportamento:
Resposta
A função
está:
- Decrescendo no intervalo
. - Crescendo nos intervalos
.
Os pontos críticos são
e
.
Há um mínimo relativo em
e nenhum máximo relativo. O ponto
é um ponto de inflexão.