Considere f(x)=(x+2)(x-2)^3.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f, bem como seus pontos críticos e os máximos e mínimos, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os intervalos onde a função f(x) = (x+2)(x-2)^3 está crescendo ou decrescendo, além de encontrar os pontos críticos e os máximos e mínimos que podem existir. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, principalmente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como f(x) muda quando x muda. Para derivar f(x) = (x+2)(x-2)^3 , vamos usar a regra do produto, que diz que se você tem duas funções multiplicando, a derivada é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Então, aplicando a regra do produto:
f'(x) = ddx(x+2) cdot (x-2)^3 + (x+2) cdot ddx(x-2)^3
Agora, vamos derivar cada parte:
ddx(x+2) = 1
ddx(x-2)^3 = 3(x-2)^2
Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(x) = 1 cdot (x-2)^3 + (x+2) cdot 3(x-2)^2

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da derivada:
f'(x) = (x-2)^3 + 3(x+2)(x-2)^2
Fatorando (x-2)^2 :
f'(x) = (x-2)^2 [ (x-2) + 3(x+2) ]
Agora, simplificando o que está dentro dos colchetes:
(x-2) + 3(x+2) = x - 2 + 3x + 6 = 4x + 4
Portanto, a derivada fica:
f'(x) = (x-2)^2(4x + 4)
Podemos fatorar mais:
f'(x) = 4(x-2)^2(x + 1)

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de x onde f'(x) = 0 ou onde f'(x) não existe. No nosso caso, a derivada f'(x) = 4(x-2)^2(x + 1) existe para todos os x , então só precisamos resolver f'(x) = 0 :
4(x-2)^2(x + 1) = 0
Isso acontece quando:
(x-2)^2 = 0 ou x + 1 = 0
Resolvendo:
x = 2 ou x = -1
Então, os pontos críticos são x = 2 e x = -1 .

Passo 5

Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal da derivada f'(x) nos intervalos determinados pelos pontos críticos x = -1 e x = 2 .
Os intervalos são:
  1. x < -1
  2. -1 < x < 2
  3. x > 2
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e ver o sinal de f'(x) :
  1. Para x < -1 , por exemplo x = -2 :
f'(-2) = 4(-2-2)^2(-2 + 1) = 4( (-4)^2)(-1) = 4(16)(-1) = -64 < 0
Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  1. Para -1 < x < 2 , por exemplo x = 0 :
f'(0) = 4(0-2)^2(0 + 1) = 4(4)(1) = 16 > 0
Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  1. Para x > 2 , por exemplo x = 3 :
f'(3) = 4(3-2)^2(3 + 1) = 4(1)(4) = 16 > 0
Então, a função continua crescendo nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos identificar os máximos e mínimos utilizando os pontos críticos e o comportamento da derivada nos intervalos.
  • Em x = -1 :
    • À esquerda de -1 , a derivada é negativa (função decrescendo).
    • À direita de -1 , a derivada é positiva (função crescendo).
    • Isso indica que há um mínimo relativo em x = -1 .
  • Em x = 2 :
    • A derivada é zero, mas analisando o comportamento:
      • À esquerda de 2 , a derivada é positiva (função crescendo).
      • À direita de 2 , a derivada continua positiva (função crescendo).
    • Como não há mudança no sinal da derivada, x = 2 é um ponto de inflexão e não um máximo ou mínimo.

Resposta

A função f(x) = (x+2)(x-2)^3 está:
  • Decrescendo no intervalo (-infty, -1) .
  • Crescendo nos intervalos (-1, +infty) .
Os pontos críticos são x = -1 e x = 2 .
Há um mínimo relativo em x = -1 e nenhum máximo relativo. O ponto x = 2 é um ponto de inflexão.

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