Considere
.
Analise a concavidade de
e determine seus pontos de inflexão.
Analise a concavidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O que precisamos fazer é analisar a concavidade dessa função e descobrir onde ela muda a concavidade, ou seja, os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar cálculo: vamos calcular a primeira e a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Isso vai nos ajudar a entender a inclinação da função. Como temos um produto de duas funções, vamos usar a regra do produto:
Calculando as derivadas individuais:
Então, substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Podemos fatorar
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a primeira derivada fica:
Podemos fatorar mais um pouco:
Passo 4
Agora que temos
, vamos calcular a segunda derivada
para analisar a concavidade. Vamos derivar
.
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando as derivadas individuais:
Substituindo de volta:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da segunda derivada:
Factorando
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a segunda derivada fica:
Passo 6
Para encontrar os pontos de inflexão, vamos resolver
:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Agora, precisamos verificar onde a concavidade muda. Vamos analisar o sinal de
em intervalos determinados pelos pontos críticos
e
:
- Para
, escolha :
- Para
, escolha :
- Para
, escolha :
Resposta
A função
é concava para cima nos intervalos
e
, e concava para baixo no intervalo
. Portanto, os pontos de inflexão estão em
e
.