Considere f(x)=(x+2)(x-2)^3.
Analise a concavidade de f e determine seus pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = (x + 2)(x - 2)^3 . O que precisamos fazer é analisar a concavidade dessa função e descobrir onde ela muda a concavidade, ou seja, os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar cálculo: vamos calcular a primeira e a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) . Isso vai nos ajudar a entender a inclinação da função. Como temos um produto de duas funções, vamos usar a regra do produto:
f'(x) = ddx(x + 2) cdot (x - 2)^3 + (x + 2) cdot ddx(x - 2)^3
Calculando as derivadas individuais:
ddx(x + 2) = 1
ddx(x - 2)^3 = 3(x - 2)^2
Então, substituindo de volta:
f'(x) = 1 cdot (x - 2)^3 + (x + 2) cdot 3(x - 2)^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:
f'(x) = (x - 2)^3 + 3(x + 2)(x - 2)^2
Podemos fatorar (x - 2)^2 :
f'(x) = (x - 2)^2 [(x - 2) + 3(x + 2)]
Simplificando dentro dos colchetes:
(x - 2) + 3(x + 2) = x - 2 + 3x + 6 = 4x + 4
Então, a primeira derivada fica:
f'(x) = (x - 2)^2 (4x + 4)
Podemos fatorar mais um pouco:
f'(x) = 4(x - 2)^2 (x + 1)

Passo 4

Agora que temos f'(x) , vamos calcular a segunda derivada f''(x) para analisar a concavidade. Vamos derivar f'(x) = 4(x - 2)^2 (x + 1) .
Aplicando a regra do produto novamente:
f''(x) = 4 [ ddx(x - 2)^2 cdot (x + 1) + (x - 2)^2 cdot ddx(x + 1) ]
Calculando as derivadas individuais:
ddx(x - 2)^2 = 2(x - 2)
ddx(x + 1) = 1
Substituindo de volta:
f''(x) = 4 [ 2(x - 2)(x + 1) + (x - 2)^2 cdot 1 ]

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da segunda derivada:
f''(x) = 4 [ 2(x - 2)(x + 1) + (x - 2)^2 ]
Factorando (x - 2) :
f''(x) = 4(x - 2) [ 2(x + 1) + (x - 2) ]
Simplificando dentro dos colchetes:
2(x + 1) + (x - 2) = 2x + 2 + x - 2 = 3x
Então, a segunda derivada fica:
f''(x) = 4(x - 2)(3x) = 12x(x - 2)

Passo 6

Para encontrar os pontos de inflexão, vamos resolver f''(x) = 0 :
12x(x - 2) = 0
Isso nos dá duas soluções:
x = 0 ou x = 2

Passo 7

Agora, precisamos verificar onde a concavidade muda. Vamos analisar o sinal de f''(x) em intervalos determinados pelos pontos críticos x = 0 e x = 2 :
  1. Para x < 0 , escolha x = -1 :
f''(-1) = 12(-1)(-1 - 2) = 12(-1)(-3) = 36 > 0 (Concava para cima)
  1. Para 0 < x < 2 , escolha x = 1 :
f''(1) = 12(1)(1 - 2) = 12(1)(-1) = -12 < 0 (Concava para baixo)
  1. Para x > 2 , escolha x = 3 :
f''(3) = 12(3)(3 - 2) = 12(3)(1) = 36 > 0 (Concava para cima)

Resposta

A função f(x) é concava para cima nos intervalos x < 0 e x > 2 , e concava para baixo no intervalo 0 < x < 2 . Portanto, os pontos de inflexão estão em x = 0 e x = 2 .

Exercícios relacionados