Considere
e
. Calcule
.
Considere \vec{r}(t)=(\ln t, \sqrt{t}) e f(x, y)=x y^{2}. Calcule \frac{d}{d t}[f(\vec{r}(t))].

Passo 1

O enunciado define a curva paramétrica \vec r(t) = (\ln t,\sqrt{t})
e o campo escalar f(x,y)=x\,y^{2}.
Queremos calcular \frac{d}{dt}\bigl[f(\vec r(t))\bigr]
usando a regra de cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^{2},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2\,x\,y.

Passo 3

Calculamos a derivada da curva \vec r(t):
\vec r'(t) =\Bigl(\frac{d}{dt}\ln t,\;\frac{d}{dt}\sqrt{t}\Bigr) =\Bigl(\frac{1}{t},\;\frac{1}{2\sqrt{t}}\Bigr).

Passo 4

Pela regra de cadeia para campos escalares,
\frac{d}{dt}\bigl[f(\vec r(t))\bigr] =\nabla f\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \vec r'(t).
Aqui \nabla f(x,y) = \bigl(y^{2},\,2xy\bigr),
logo em \vec r(t) temos \nabla f(\vec r(t)) = \bigl(t,\;2\,\ln t\,\sqrt{t}\bigr).

Passo 5

Fazendo o produto escalar:
\frac{d}{dt}\bigl[f(\vec r(t))\bigr] = \bigl(t,\;2\,\ln t\,\sqrt{t}\bigr)\cdot\Bigl(\frac{1}{t},\;\frac{1}{2\sqrt{t}}\Bigr) = t\cdot\frac{1}{t} + 2\,\ln t\,\sqrt{t}\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}} = 1 + \ln t.

Resposta

\frac{d}{dt}\bigl[f(\vec r(t))\bigr]=1+\ln t.

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