Seja
e
. Calcule
.
Seja \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t) e f(x, y)=x^{2}+y^{2}. Calcule \frac{d}{d t}[f(\vec{r}(t))].

Passo 1

O enunciado dá a curva \vec{r}(t)=(\cos t,\sin t) e a função f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Queremos calcular a derivada em relação a t de f(\vec{r}(t)). Para isso, vamos usar a regra da cadeia em várias variáveis, que diz
\frac{d}{dt}f(\vec{r}(t)) =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Primeiro, identificamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=2y.
Também extraímos as componentes de \vec{r}(t):
x(t)=\cos t, \quad y(t)=\sin t,
e suas derivadas:
\frac{dx}{dt}=-\sin t, \quad \frac{dy}{dt}=\cos t.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}[f(\vec{r}(t))] =2x(t)\bigl(-\sin t\bigr)+2y(t)\bigl(\cos t\bigr).

Passo 4

Substituindo x(t)=\cos t e y(t)=\sin t:
\frac{d}{dt}[f(\vec{r}(t))] =2\cos t\,( -\sin t)+2\sin t\,\cos t =-2\cos t\sin t+2\sin t\cos t =0.

Resposta

0

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