Considere uma calota esférica desprovidade de atrito, de raio
e fixa ao solo. Uma pessoal de massa
está sentada no topo e inicialmente parada e começa a deslizar. Considere
o ângulo em relação a vertical que a posição da pessoa faz.
(a) Encontre a posição em que partícula perde contato com a calota.
(b) Encontre todas as forças que atuam sobre a partícula na posição anterior a perda de contato da pessoa.
(c) Encontre o trabalho de cada força sobre a pessoa até a posição em que a mesma perde o contato.
(d) Encontre a distância ao centro da calota que a partícula toca o solo.
(a) Encontre a posição em que partícula perde contato com a calota.
(b) Encontre todas as forças que atuam sobre a partícula na posição anterior a perda de contato da pessoa.
(c) Encontre o trabalho de cada força sobre a pessoa até a posição em que a mesma perde o contato.
(d) Encontre a distância ao centro da calota que a partícula toca o solo.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
deslizando sem atrito sobre uma calota esférica de raio
, a partir do topo (
) até perder contato num ângulo
medido a partir da vertical. Vamos usar dois princípios principais:
- Conservação de energia mecânica para relacionar a velocidade
e o ângulo . - Equilíbrio de forças na direção radial (segunda lei de Newton) para descobrir quando a força normal
se anula.
Passo 2
Conservação de energia entre o topo (
,
) e um ângulo genérico
: a variação de energia potencial é
que vira energia cinética
Passo 3
Para o movimento sobre a calota, na direção radial (para o centro) atuam o componente radial do peso
para dentro e a normal
para fora. Pela segunda lei de Newton radial:
A perda de contato ocorre quando
. Substituindo
:
Logo
Passo 4
Na posição imediatamente antes de perder contato (
), as forças atuantes são:
- Peso
dirigido verticalmente para baixo. - Normal
.
Passo 5
O trabalho de cada força, do topo até
:
- Trabalho do peso:
- Trabalho da normal: como
é sempre perpendicular ao deslocamento,
Passo 6
Depois que
some, a partícula sai tangencialmente com velocidade
num ponto de coordenadas (origem no centro da esfera,
vertical para cima)
O vetor-velocidade inicial é tangente ao círculo, apontando para a direita e para baixo:
Passo 7
Trajetória de projétil até tocar o solo (
). Da equação
obtém-se um tempo positivo
. Em seguida a abscissa de impacto é
A distância horizontal do centro da calota até o ponto de toque no solo é justamente
Resolvendo o 2.º grau e substituindo, chega-se a
Resposta
(a)
(b) Peso para baixo e normal
.
(c) ,
.
(d) Distância horizontal até o centro da calota
(b) Peso
(c)
(d) Distância horizontal até o centro da calota