Considere uma calota esférica desprovidade de atrito, de raio R e fixa ao solo. Uma pessoal de massa m está sentada no topo e inicialmente parada e começa a deslizar. Considere alpha o ângulo em relação a vertical que a posição da pessoa faz.
(a) Encontre a posição em que partícula perde contato com a calota.
(b) Encontre todas as forças que atuam sobre a partícula na posição anterior a perda de contato da pessoa.
(c) Encontre o trabalho de cada força sobre a pessoa até a posição em que a mesma perde o contato.
(d) Encontre a distância ao centro da calota que a partícula toca o solo.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m deslizando sem atrito sobre uma calota esférica de raio R, a partir do topo ( alpha=0) até perder contato num ângulo alpha medido a partir da vertical. Vamos usar dois princípios principais:
  1. Conservação de energia mecânica para relacionar a velocidade v e o ângulo alpha.
  2. Equilíbrio de forças na direção radial (segunda lei de Newton) para descobrir quando a força normal N se anula.

Passo 2

Conservação de energia entre o topo ( alpha=0, v=0) e um ângulo genérico alpha: a variação de energia potencial é
De<a U = mgRl(1-cosalphar)
que vira energia cinética
12,m,v^2 = mgRl(1-cosalphar) Longrightarrow v^2 = 2gRl(1-cosalphar)

Passo 3

Para o movimento sobre a calota, na direção radial (para o centro) atuam o componente radial do peso mgcosalpha para dentro e a normal N para fora. Pela segunda lei de Newton radial:
mgcosalpha - N = m,v^2R
A perda de contato ocorre quando N=0. Substituindo v^2=2gR(1-cosalpha):
mgcosalpha = m,2gR(1-cosalpha)R Longrightarrow cosalpha = 23
Logo
alpha = arccos!l(tfrac23r)

Passo 4

Na posição imediatamente antes de perder contato ( cosalpha=2/3), as forças atuantes são:
  • Peso ;mg dirigido verticalmente para baixo.
  • Normal ;N=0.

Passo 5

O trabalho de cada força, do topo até alpha=arccos(2/3):
  • Trabalho do peso:
Wg = De<a K = mgRl(1-cosalphar) = mgRl(1-tfrac23r) = mgR3
  • Trabalho da normal: como N é sempre perpendicular ao deslocamento,
WN = 0

Passo 6

Depois que N some, a partícula sai tangencialmente com velocidade
v0 = raiz2gRl(1-tfrac23r) = raiztfrac2gR3
num ponto de coordenadas (origem no centro da esfera, y vertical para cima)
x0 = Rsinalpha = R,raiz53, y0 = Rcosalpha = 2R3
O vetor-velocidade inicial é tangente ao círculo, apontando para a direita e para baixo:
v0x = v0cosalpha = 23raiztfrac2gR3, v0y = -v0sinalpha = -raiz53raiztfrac2gR3

Passo 7

Trajetória de projétil até tocar o solo ( y=-R). Da equação
y(t)=y0 + v0y,t - tfrac12,g,t^2 = -R
obtém-se um tempo positivo t. Em seguida a abscissa de impacto é
xrm impact = x0 + v0x,t
A distância horizontal do centro da calota até o ponto de toque no solo é justamente
d = xrm impact
Resolvendo o 2.º grau e substituindo, chega-se a
d = R27l(9raiz5 ;+;2raiz2,l(10-raiz10r)r) ;approx;1,46,R

Resposta

(a) alpha = arccos!l(tfrac23r)
(b) Peso mg para baixo e normal N=0.
(c) Wg = tfracmgR3, WN = 0.
(d) Distância horizontal até o centro da calota
d = R27l(9raiz5 +2raiz2,(10-raiz10)r)approx1,46,R

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