Considere uma pirâmide quadrada de lados l com massas pontuais em suas pontas dadas por m. A uma alturado centro da base, é colocada uma massa M. Considere que a distância entre cada uma das massas m até a massa M é l. Encontre o centro de massa do sistema.

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide de base quadrada de lado l, com quatro massas pontuais de massa m em cada vértice da base, e uma massa M colocada no eixo que passa pelo centro da base, a uma altura tal que a distância dessa massa M até cada massa m é l. O objetivo é encontrar o centro de massa do sistema formado pelas cinco partículas.

Passo 2

Escolhemos a origem do sistema de coordenadas no centro da base, com o plano da base em z=0. Então as quatro massas m têm coordenadas
l(pmtfracl2,,pmtfracl2,,0r)
e a massa M fica em (0,0,h). Como a distância de (0,0,h) a qualquer vértice é l, temos
raizl(tfracl2r)^2+l(tfracl2r)^2+h^2 ;=; l Longrightarrow raiztfracl^22+h^2=l Longrightarrow h^2=tfracl^22 Longrightarrow h=lraiz2,

Passo 3

O centro de massa (xrm CM,yrm CM,zrm CM) é dado por
xrm CM=sum mi xisum mi, yrm CM=sum mi yisum mi, zrm CM=sum mi zisum mi
As quatro massas m estão distribuídas simetricamente, logo
xrm CM=0, yrm CM=0
Para zrm CM,
zrm CM =4mcdot0 + Mcdot h4m+M =M,h4m+M

Passo 4

Substituindo h=tfraclraiz2 em zrm CM, obtemos
zrm CM =M4m+M,lraiz2 =M,lraiz2,(4m+M)

Resposta

O centro de massa do sistema é
l(xrm CM,yrm CM,zrm CMr) =l(0,;0,;M,lraiz2,(4m+M)r)

Exercícios relacionados