Considere um plano inclinado de massa M e inclinação beta com a horizontal, parado e sobre uma superfície lisa e horizontal. Sobre o plano e a uma altura H do solo, é colocado um bloco de massa m inicialmente no repouso.
(a) Encontre as equações de movimento.
(b) Encontre a velocidade do bloco, em relação à terra, quando o mesmo toca o solo.

Passo 1

O enunciado trata de um bloco de massa m que desliza sem atrito sobre um plano inclinado de massa M que por sua vez repousa em superfície horizontal lisa. O plano faz ângulo beta com a horizontal e o bloco parte do repouso a uma altura H acima do solo. O objetivo é (a) obter as equações de movimento acopladas do bloco e do plano e (b) achar a velocidade do bloco em relação à Terra quando ele atinge o solo. Vamos modelar o problema usando coordenadas generalizadas:
x: deslocamento horizontal do plano (positiva no sentido da aceleração do plano).
s: distância percorrida pelo bloco medida ao longo do plano, positiva para baixo do plano.

Passo 2

Expressamos a posição e a energia cinética do sistema. A posição do bloco em relação ao solo tem componentes
Xb = x + scosbeta, Yb = H - ssinbeta
As velocidades são
dot Xb = dot x + dot scosbeta, dot Yb = -,dot ssinbeta
A energia cinética total é
T = tfrac12,Mdot x^2 + tfrac12,ml[(dot x + dot scosbeta)^2 + (dot ssinbeta)^2r],
e a energia potencial gravitacional do bloco é
V = m,g,(H - ssinbeta)

Passo 3

Formamos a Lagrangeana L = T - V e escrevemos as equações de Euler–Lagrange para x e s. Após expandir e simplificar, obtemos o sistema acoplado
(M + m),ddot x + m,cosbeta,ddot s = 0,
m,cosbeta,ddot x + m,ddot s + m,g,sinbeta = 0

Passo 4

Resolvendo esse par de equações para ddot s e ddot x encontramos
ddot s = (M + m),g,sinbetaM + m,sin^2!beta,
ddot x = -,m,g,sinbeta,cosbetaM + m,sin^2!beta
Aqui ddot s>0 indica aceleração do bloco para baixo do plano e ddot x<0 sinaliza que o plano se move no sentido oposto ao eixo x que escolhemos.

Passo 5

Como não há força externa horizontal, a quantidade
Q=(M + m),dot x + m,cosbeta,dot s
é constante. Partindo do repouso ( dot x(0)=dot s(0)=0) segue Q=0, ou seja
dot x = -,m,cosbetaM + m,dot s

Passo 6

Aplicamos conservação de energia entre o instante inicial (tudo em repouso, Vi=m,g,H) e o instante em que o bloco atinge o solo ( sf=H/sinbeta). A energia total é
E = T + V = tfrac12(M+m)dot x^2 + mdot x,dot scosbeta + tfrac12,mdot s^2 + m,g,(H - ssinbeta)
No final Vf=0 e s=sf. Substituindo a relação entre dot x e dot s e igualando De<a E=0
tfrac12,m,(M + m,sin^2!beta)M + m,dot s^2 ;=; m,g,H ;;Longrightarrow;; dot s^2 = 2,g,H,(M + m)M + m,sin^2!beta

Passo 7

Finalmente, a velocidade do bloco em relação à Terra é
vb^2 = (dot x + dot scosbeta)^2 + (dot ssinbeta)^2
Usando dot x = -tfracmcosbetaM + mdot s obtemos
vb^2 = dot s^2l[l(!1-tfracmM + mr)^2cos^2!beta + sin^2!betar] = dot s^2,M^2cos^2!beta + (M + m)^2sin^2!beta(M + m)^2
Substituindo dot s^2 achamos
vb = raiz2,g,H,(M + m)M + m,sin^2!beta; M^2cos^2!beta + (M + m)^2sin^2!beta(M + m)^2,,

Resposta

(a) As equações de movimento são
(M + m),ddot x + m,cosbeta,ddot s = 0, m,cosbeta,ddot x + m,ddot s + m,g,sinbeta = 0
(b) A velocidade do bloco ao atingir o solo é
vb = raiz2,g,H,(M + m)M + m,sin^2!beta; M^2cos^2!beta + (M + m)^2sin^2!beta(M + m)^2,

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