Considere um plano inclinado de massa
e inclinação
com a horizontal, parado e sobre uma superfície lisa e horizontal. Sobre o plano e a uma altura
do solo, é colocado um bloco de massa
inicialmente no repouso.
(a) Encontre as equações de movimento.
(b) Encontre a velocidade do bloco, em relação à terra, quando o mesmo toca o solo.
(a) Encontre as equações de movimento.
(b) Encontre a velocidade do bloco, em relação à terra, quando o mesmo toca o solo.
Passo 1
O enunciado trata de um bloco de massa
que desliza sem atrito sobre um plano inclinado de massa
que por sua vez repousa em superfície horizontal lisa. O plano faz ângulo
com a horizontal e o bloco parte do repouso a uma altura
acima do solo. O objetivo é (a) obter as equações de movimento acopladas do bloco e do plano e (b) achar a velocidade do bloco em relação à Terra quando ele atinge o solo. Vamos modelar o problema usando coordenadas generalizadas:
– : deslocamento horizontal do plano (positiva no sentido da aceleração do plano).
– : distância percorrida pelo bloco medida ao longo do plano, positiva para baixo do plano.
–
–
Passo 2
Expressamos a posição e a energia cinética do sistema. A posição do bloco em relação ao solo tem componentes
As velocidades são
A energia cinética total é
e a energia potencial gravitacional do bloco é
Passo 3
Formamos a Lagrangeana
e escrevemos as equações de Euler–Lagrange para
e
. Após expandir e simplificar, obtemos o sistema acoplado
Passo 4
Resolvendo esse par de equações para
e
encontramos
Aqui
indica aceleração do bloco para baixo do plano e
sinaliza que o plano se move no sentido oposto ao eixo
que escolhemos.
Passo 5
Como não há força externa horizontal, a quantidade
é constante. Partindo do repouso (
) segue
, ou seja
Passo 6
Aplicamos conservação de energia entre o instante inicial (tudo em repouso,
) e o instante em que o bloco atinge o solo (
). A energia total é
No final
e
. Substituindo a relação entre
e
e igualando
dá
Passo 7
Finalmente, a velocidade do bloco em relação à Terra é
Usando
obtemos
Substituindo
achamos
Resposta
(a) As equações de movimento são
(b) A velocidade do bloco ao atingir o solo é