Uma partícula de massa 2 Kg desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (1).
(a) Encontre a força resultante sobre a partícula.
(b) Encontre a equação de movimento da partícula.
(c) Encontre a trajetória da partícula.
(d) Qual o trabalho total sobre a partícula, para sair do instante 0 até o instante
(e) O momento linear é conservado?
(a) Encontre a força resultante sobre a partícula.
(b) Encontre a equação de movimento da partícula.
(c) Encontre a trajetória da partícula.
(d) Qual o trabalho total sobre a partícula, para sair do instante 0 até o instante
(e) O momento linear é conservado?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e ver quais assuntos precisamos usar. Temos uma partícula de 2 kg que se move ao longo de uma linha com a posição dada por
. Precisamos resolver cinco itens:
a) Encontrar a força resultante sobre a partícula.
b) Encontrar a equação de movimento da partícula.
c) Encontrar a trajetória da partícula.
d) Calcular o trabalho total sobre a partícula do instante 0 até .
e) Verificar se o momento linear é conservado.
a) Encontrar a força resultante sobre a partícula.
b) Encontrar a equação de movimento da partícula.
c) Encontrar a trajetória da partícula.
d) Calcular o trabalho total sobre a partícula do instante 0 até
e) Verificar se o momento linear é conservado.
Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de cinemática (para posição, velocidade e aceleração), dinâmica (para força resultante e equação de movimento), trabalho e energia, e momento linear.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Encontrar a força resultante sobre a partícula.
Sabemos que a força resultante
sobre um objeto é dada pela segunda lei de Newton:
onde
é a massa e
é a aceleração.
Primeiro, precisamos achar a aceleração da partícula. A posição está dada por
.
A velocidade
é a primeira derivada de
em relação ao tempo:
A aceleração
é a segunda derivada de
:
Agora, aplicamos na fórmula da força:
Passo 3
Passando para a parte b): Encontrar a equação de movimento da partícula.
A equação de movimento geralmente relaciona a posição, velocidade e aceleração com o tempo. Já temos a posição
e a aceleração
.
Podemos também expressar a segunda lei de Newton como uma equação diferencial:
onde
é a constante da força restauradora (no caso de um movimento harmônico simples).
Comparando com a aceleração que encontramos:
Então, a equação de movimento da partícula é:
Passo 4
Vamos para a parte c): Encontrar a trajetória da partícula.
A trajetória geralmente se refere à posição em função do tempo, que já temos:
.
Mas, se pensarmos em termos de movimento ao longo do tempo, podemos relacionar posição e velocidade para descrever a trajetória no espaço-tempo.
Entretanto, como já temos
, já podemos considerar isso nossa trajetória.
Passo 5
Agora, a parte d): Calcular o trabalho total sobre a partícula do instante 0 até
.
O trabalho
feito por uma força ao longo de um deslocamento é dado por:
Mas como temos a força em função do tempo, podemos usar:
Já sabemos que:
Multiplicando:
Então:
Podemos simplificar usando a identidade
:
Então:
Passo 6
Finalmente, a parte e): Verificar se o momento linear é conservado.
O momento linear
é dado por:
Para que o momento seja conservado, a força resultante sobre a partícula deve ser nula (
).
Mas vimos que:
Portanto, como há uma força resultante atuando, o momento linear não é conservado.
Resposta
a) A força resultante sobre a partícula é
N.
b) A equação de movimento da partícula é
.
c) A trajetória da partícula é dada por
.
d) O trabalho total sobre a partícula do instante 0 até
é 0 J.
e) O momento linear não é conservado.