Uma partícula de massa 2 Kg desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (1).
(a) Encontre a força resultante sobre a partícula.
(b) Encontre a equação de movimento da partícula.
(c) Encontre a trajetória da partícula.
(d) Qual o trabalho total sobre a partícula, para sair do instante 0 até o instante pi / 4
(e) O momento linear é conservado?
x(t)=2 cos (4 t)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e ver quais assuntos precisamos usar. Temos uma partícula de 2 kg que se move ao longo de uma linha com a posição dada por x(t) = 2 cos(4t) . Precisamos resolver cinco itens:
a) Encontrar a força resultante sobre a partícula.
b) Encontrar a equação de movimento da partícula.
c) Encontrar a trajetória da partícula.
d) Calcular o trabalho total sobre a partícula do instante 0 até pi/4 .
e) Verificar se o momento linear é conservado.
Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de cinemática (para posição, velocidade e aceleração), dinâmica (para força resultante e equação de movimento), trabalho e energia, e momento linear.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Encontrar a força resultante sobre a partícula.
Sabemos que a força resultante F sobre um objeto é dada pela segunda lei de Newton:
F = m cdot a
onde m é a massa e a é a aceleração.
Primeiro, precisamos achar a aceleração da partícula. A posição está dada por x(t) = 2 cos(4t) .
A velocidade v(t) é a primeira derivada de x(t) em relação ao tempo:
v(t) = dxdt = -8 sin(4t)
A aceleração a(t) é a segunda derivada de x(t) :
a(t) = d^2xdt^2 = -32 cos(4t)
Agora, aplicamos na fórmula da força:
F(t) = m cdot a(t) = 2 cdot (-32 cos(4t)) = -64 cos(4t)

Passo 3

Passando para a parte b): Encontrar a equação de movimento da partícula.
A equação de movimento geralmente relaciona a posição, velocidade e aceleração com o tempo. Já temos a posição x(t) = 2 cos(4t) e a aceleração a(t) = -32 cos(4t) .
Podemos também expressar a segunda lei de Newton como uma equação diferencial:
m cdot d^2xdt^2 + kx = 0
onde k é a constante da força restauradora (no caso de um movimento harmônico simples).
Comparando com a aceleração que encontramos:
-64 cos(4t) = m cdot a(t) = 2 cdot a(t) implies a(t) = -32 cos(4t)
Então, a equação de movimento da partícula é:
d^2xdt^2 + 16x = 0

Passo 4

Vamos para a parte c): Encontrar a trajetória da partícula.
A trajetória geralmente se refere à posição em função do tempo, que já temos: x(t) = 2 cos(4t) .
Mas, se pensarmos em termos de movimento ao longo do tempo, podemos relacionar posição e velocidade para descrever a trajetória no espaço-tempo.
Entretanto, como já temos x(t) , já podemos considerar isso nossa trajetória.

Passo 5

Agora, a parte d): Calcular o trabalho total sobre a partícula do instante 0 até pi/4 .
O trabalho W feito por uma força ao longo de um deslocamento é dado por:
W = integralx0^xf F , dx
Mas como temos a força em função do tempo, podemos usar:
W = integral0^pi/4 F(t) cdot v(t) , dt
Já sabemos que:
F(t) = -64 cos(4t)
v(t) = -8 sin(4t)
Multiplicando:
F(t) cdot v(t) = (-64 cos(4t)) cdot (-8 sin(4t)) = 512 cos(4t) sin(4t)
Então:
W = integral0^pi/4 512 cos(4t) sin(4t) , dt
Podemos simplificar usando a identidade sin(2theta) = 2 sintheta costheta :
512 cos(4t) sin(4t) = 256 sin(8t)
Então:
W = 256 integral0^pi/4 sin(8t) , dt = 256 [ -18 cos(8t) ]0^pi/4 = -32 [cos(2pi) - cos(0)] = -32 (1 - 1) = 0

Passo 6

Finalmente, a parte e): Verificar se o momento linear é conservado.
O momento linear p é dado por:
p = m cdot v
Para que o momento seja conservado, a força resultante sobre a partícula deve ser nula ( F = 0 ).
Mas vimos que:
F(t) = -64 cos(4t) neq 0
Portanto, como há uma força resultante atuando, o momento linear não é conservado.

Resposta

a) A força resultante sobre a partícula é F(t) = -64 cos(4t) N.
b) A equação de movimento da partícula é d^2xdt^2 + 16x = 0 .
c) A trajetória da partícula é dada por x(t) = 2 cos(4t) .
d) O trabalho total sobre a partícula do instante 0 até pi/4 é 0 J.
e) O momento linear não é conservado.

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