Considere um campo elétrico uniforme, de módulo E=2,0 \times 10^{2} \mathrm{~N} / \mathrm{C}, cujo vetor seja paralelo ao eixo x apontando no sentido do crescimento de x. Imagine uma parede perpendicular ao eixo x e localizada a uma distância de 5 m da origem do sistema de coordenadas. Escolha, do modo mais fácil possível, a forma e as dimensôes de buracos a serem feitos na parede de modo que o fluxo do campo elétrico através de cada buraco seja igual a:
(a) 1,0 \times 10^{2} \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{C}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados do enunciado:
  • Campo elétrico uniforme de módulo E = 2,0\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.
  • O vetor campo é paralelo ao eixo x e aponta no sentido do crescimento de x.
  • Há uma parede plana perpendicular ao eixo x localizada em x=5\\ \mathrm{m}.
    O que o enunciado pede:
  • Escolher, do modo mais fácil possível, a forma e as dimensões de um buraco na parede tal que o fluxo do campo através desse buraco seja \Phi = 1,0\times10^{2}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.

Passo 2

Entender o conceito matemático que vamos usar (aqui vai a mini-aula).
  • O fluxo elétrico através de uma superfície aberta S é definido por
\Phi=\int_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A},
onde d\vec{A} é o vetor área elementar (módulo dA e direção normal à superfície).
  • No caso de campo \vec{E} uniforme e superfície plana cuja normal tem ângulo \theta com \vec{E}, a integral reduz-se a
\Phi = E\,A\cos\theta,
onde E é o módulo do campo e A a área da superfície (buraco).
  • Aqui a parede é perpendicular ao eixo x e \vec{E} é paralelo a x apontando para +x. Assim o ângulo entre \vec{E} e a normal da parede é \theta=0^\circ, logo \cos\theta=1. Portanto, para qualquer buraco plano na parede com área A,
\Phi = E\,A.
(Na prova: memoriza essa forma simples para caso de campo uniforme e superfície plana.)

Passo 3

Isolar a área necessária.
  • Da relação \Phi = E\,A temos
A=\frac{\Phi}{E}.
  • Substituindo os valores pedidos:
A=\frac{1,0\times10^{2}}{2,0\times10^{2}}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Fazer a divisão com atenção a potências de dez: \dfrac{1,0}{2,0}=0,5 e \dfrac{10^{2}}{10^{2}}=1. Então
A = 0,5\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Escolher a forma e dimensões “mais fáceis” para o buraco.
  • O enunciado pediu “do modo mais fácil possível”. Um retângulo com lados de medidas simples é a escolha prática mais direta. Por exemplo, um retângulo de lados 1,0\\ \mathrm{m} e 0,5\\ \mathrm{m} tem área
A = 1,0\times0,5 = 0,5\\ \mathrm{m^{2}},
que é exatamente o valor que precisamos.
  • Alternativa (opcional): se preferir um buraco circular, a área satisfaz \pi r^{2}=0,5, então
r=\sqrt{\frac{0,5}{\pi}}\approx0,40\\ \mathrm{m}.
Mas o retângulo 1,0\\ \mathrm{m}\times0,5\\ \mathrm{m} é mais fácil de cortar e medir sem calculadora.

Passo 5

Verificação final de que o fluxo fica correto.
  • Usando E=2,0\times10^{2}\\ \mathrm{N/C} e A=0,5\\ \mathrm{m^{2}}:
\Phi = E\,A = (2,0\times10^{2})\times0,5 = 1,0\times10^{2}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C},
que é o valor pedido. Portanto a escolha está correta.

Resposta

Buraco retangular de 1,0\\ \mathrm{m}\times0,5\\ \mathrm{m} (área 0,5\\ \mathrm{m^{2}}), o que dá \Phi=1,0\times10^{2}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.

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