1. Uma barra metálica homogênea de comprimento \mathrm{L}_{0}=1,000 \mathrm{~m} a 0^{\circ} \mathrm{C} tem seu coeficiente de dilatação linear variando com a temperatura segundo a lei \alpha(T)=\alpha O(1+\beta T),
    onde \alpha_{0}=2,0 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e \beta=1,0 \times 10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. A barra é usada como pistão dentro de um cilindro adiabático, inicialmente a 0^{\circ} \mathrm{C} 0^{\circ} \mathrm{C}, contendo 10 g 10 g de gelo em equilíbrio com água. Aquece-se lentamente a barra até que todo o gelo derreta e a temperatura final de equilíbrio do sistema (barra + água + gelo derretido) seja 10^{\circ} \mathrm{C}. Despreze a capacidade térmica do cilindro e as trocas de calor com o exterior, exceto via barra. Dados: calor latente de fusão do gelo \mathrm{L}=334 \mathrm{~J} / \mathrm{g}, calor específico da água \mathrm{c}=4,2 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), calor específico da barra \mathrm{C}_{\mathrm{b}}=400 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), densidade da barra \rho=7800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
    Determine:
    a) A expressão do comprimento final da barra em função da temperatura final, integrando \alpha(T).
    b) A massa da barra.
    c) A temperatura final da barra (que é a mesma do sistema) e, consequentemente, comprimento final.

Passo 1

O enunciado e o que ele pede (vou listar direitinho para não nos perder):
  • Dados do problema (peguei todos no enunciado):
    • Comprimento inicial da barra: \,L_{0}=1{,}000\\ \mathrm{m} (a 0^{\circ}\mathrm{C}).
    • Coeficiente de dilatação linear que depende da temperatura: \,\alpha(T)=\alpha_{0}\bigl(1+\beta T\bigr).
    • \,\alpha_{0}=2{,}0\times10^{-5}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
    • \,\beta=1{,}0\times10^{-4}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
    • A barra é usada como pistão num cilindro adiabático que inicialmente está a 0^{\circ}\mathrm{C}, contendo 10\\ \mathrm{g} de gelo em equilíbrio com água.
    • O sistema é aquecido até que todo o gelo derreta e o sistema fique em equilíbrio final à temperatura 10^{\circ}\mathrm{C}.
    • Calor latente de fusão do gelo: \,L=334\\ \mathrm{J/g}.
    • Calor específico da água: \,c=4{,}2\\ \mathrm{J/(g\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})}.
    • Calor específico da barra: \,C_{b}=400\\ \mathrm{J/(kg\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})}.
    • Densidade da barra: \rho=7800\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Obter a expressão do comprimento final da barra em função da temperatura final, integrando \alpha(T).
    (b) Determinar a massa da barra.
    (c) Determinar a temperatura final da barra (que é a mesma do sistema) e, consequentemente, o comprimento final.
Observações importantes (para não perder ponto): o enunciado já afirma que a temperatura final do conjunto é 10^{\circ}\mathrm{C}. Então, na parte (c) iremos usar esse valor para calcular o comprimento final. Para a massa (parte b) é preciso lembrar que massa = densidade × volume; para isso precisamos da área da secção transversal da barra — se essa área não for dada, só podemos dar a massa em função dela. Vou mostrar isso claramente.

Passo 2

Conceito básico e a equação diferencial que liga \alpha(T) e L(T) (aulas mastigadas):
  • Definição do coeficiente de dilatação linear dependente de T: por definição,
\alpha(T)=\frac{1}{L}\,\frac{dL}{dT}.
Isto significa que um incremento de temperatura dT provoca um incremento relativo de comprimento dL/L=\alpha(T)\,dT.
  • Para obter L(T) a partir de \alpha(T) integrável, separamos variáveis e integramos de \,T_{0} (temperatura inicial) até \,T:
\frac{dL}{L}=\alpha(T)\,dT \qquad\Rightarrow\qquad \int_{L_{0}}^{L(T)}\frac{dL'}{L'}=\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT'.
  • A integral do lado esquerdo dá \ln\!\bigl(\tfrac{L(T)}{L_{0}}\bigr). Logo a solução geral é
\ln\!\left(\frac{L(T)}{L_{0}}\right)=\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT' \qquad\Rightarrow\qquad L(T)=L_{0}\,\exp\!\left(\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT'\right).
Essa é a fórmula exata: não estamos aproximando nada ainda. Em muitos exercícios usa-se a aproximação L\approx L_{0}\bigl(1+\int\alpha\,dT\bigr) porque \alpha é pequeno, mas aqui vou manter a forma exponencial e depois mostrar a aproximação para comparar.

Passo 3

Integrando \alpha(T)=\alpha_{0}(1+\beta T) entre a temperatura inicial \,T_{0}=0^{\circ}\mathrm{C} e uma temperatura qualquer \,T:
  • Calcule a integral
\int_{0}^{T}\alpha(T')\,dT'=\int_{0}^{T}\alpha_{0}\bigl(1+\beta T'\bigr)\,dT' =\alpha_{0}\Bigl[T+\frac{\beta T^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{T} =\alpha_{0}\Bigl(T+\frac{\beta T^{2}}{2}\Bigr).
  • Substituindo na solução do passo anterior obtemos a expressão exata do comprimento em função de T:
\boxed{\,L(T)=L_{0}\,\exp\!\left[\alpha_{0}\Bigl(T+\frac{\beta T^{2}}{2}\Bigr)\right]\,.}
  • Comentário didático: se \alpha_{0}T\ll1 (o que costuma acontecer, \alpha_{0}\sim10^{-5} e T de algumas dezenas de graus), podemos usar a aproximação de primeira ordem da exponencial:
L(T)\approx L_{0}\left[1+\alpha_{0}\Bigl(T+\frac{\beta T^{2}}{2}\Bigr)\right].
Isso é útil para estimativas rápidas na prova.

Passo 4

Parte (b) — massa da barra (explicação e resultado):
  • A massa \,m de um corpo homogêneo é \,m=\rho V. Para uma barra cilíndrica (pistão) o volume é \,V=A\cdot L_{0}, onde A é a área da secção transversal (assumimos forma uniforme).
  • Portanto a massa é
\boxed{\,m=\rho A L_{0}\,.}
  • Como a área A da secção transversal NÃO foi fornecida no enunciado, NÃO é possível determinar um valor numérico absoluto para m. O que podemos dar numericamente é a massa por unidade de área (uma forma útil quando A não é conhecida):
\frac{m}{A}=\rho L_{0}=7800\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times1{,}000\\ \mathrm{m}=7800\\ \mathrm{kg/m^{2}}.
  • Conclusão prática (para a prova): escreva m=\rho A L_{0} e, se pedirem valor numérico, peça/assuma a área. Se for necessário, use \,m/A=7800\\ \mathrm{kg/m^{2}}.

Passo 5

Parte (c) — temperatura final e comprimento final (uso direto do enunciado e cálculo numérico):
  • O enunciado já diz que a temperatura final de equilíbrio do sistema é 10^{\circ}\mathrm{C}. Assim
\boxed{\,T_{\text{final}}=10^{\circ}\mathrm{C}\,.}
  • Agora usamos a expressão de L(T) do passo 3 para T=10^{\circ}\mathrm{C}. Primeiro calcule o argumento da exponencial:
\alpha_{0}\Bigl(T+\frac{\beta T^{2}}{2}\Bigr) = (2{,}0\times10^{-5})\Bigl(10+\frac{1{,}0\times10^{-4}\times10^{2}}{2}\Bigr).
Calcule por partes:
\frac{\beta T^{2}}{2}=\frac{1{,}0\times10^{-4}\times100}{2}= \frac{0{,}01}{2}=0{,}005.
Logo
T+\frac{\beta T^{2}}{2}=10+0{,}005=10{,}005.
Multiplicando por \alpha_{0}:
\alpha_{0}\Bigl(T+\frac{\beta T^{2}}{2}\Bigr)=2{,}0\times10^{-5}\times10{,}005 =2{,}001\times10^{-4}.
  • Aplicando na expressão exponencial:
L(10^{\circ}\mathrm{C})=L_{0}\,\exp\!\bigl(2{,}001\times10^{-4}\bigr).
  • Como o expoente é pequeno, dá para avaliar numericamente com precisão:
\exp\!\bigl(2{,}001\times10^{-4}\bigr)\approx 1+2{,}001\times10^{-4}+\frac{(2{,}001\times10^{-4})^{2}}{2}\approx 1{,}00020012002\ldots
Logo, com L_{0}=1{,}000\\ \mathrm{m},
\boxed{\,L_{\text{final}}=1{,}000\times\exp(2{,}001\times10^{-4})\approx 1{,}00020012\\ \mathrm{m}\,.}
  • Se preferir a aproximação linear simples (válida e suficiente em muitos exames):
L_{\text{final}}\approx L_{0}\Bigl[1+\alpha_{0}\Bigl(T+\frac{\beta T^{2}}{2}\Bigr)\Bigr] =1{,}000\bigl(1+2{,}001\times10^{-4}\bigr)\approx1{,}00020010\\ \mathrm{m},
que coincide praticamente com o valor exponencial acima.

Resposta

(a) L(T)=L_{0}\,\exp\!\left[\alpha_{0}\Bigl(T+\dfrac{\beta T^{2}}{2}\Bigr)\right].
(b) m=\rho A L_{0}. Em particular \dfrac{m}{A}=\rho L_{0}=7800\\ \mathrm{kg/m^{2}}, portanto não é possível dar um valor numérico para m sem a área A.
(c) T_{\text{final}}=10^{\circ}\mathrm{C}.
L_{\text{final}}=L(10^{\circ}\mathrm{C})=1{,}000\\ \exp\!\bigl(2{,}001\times10^{-4}\bigr)\approx1{,}00020012\\ \mathrm{m}.

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