- Uma barra metálica homogênea de comprimento
a
tem seu coeficiente de dilatação linear variando com a temperatura segundo a lei
,
onde
e
. A barra é usada como pistão dentro de um cilindro adiabático, inicialmente a
, contendo 10 g 10 g de gelo em equilíbrio com água. Aquece-se lentamente a barra até que todo o gelo derreta e a temperatura final de equilíbrio do sistema (barra + água + gelo derretido) seja
. Despreze a capacidade térmica do cilindro e as trocas de calor com o exterior, exceto via barra. Dados: calor latente de fusão do gelo
, calor específico da água
, calor específico da barra
, densidade da barra
.
Determine:
a) A expressão do comprimento final da barra em função da temperatura final, integrando
.
b) A massa da barra.
c) A temperatura final da barra (que é a mesma do sistema) e, consequentemente, comprimento final.
onde
Determine:
a) A expressão do comprimento final da barra em função da temperatura final, integrando
b) A massa da barra.
c) A temperatura final da barra (que é a mesma do sistema) e, consequentemente, comprimento final.
Passo 1
O enunciado e o que ele pede (vou listar direitinho para não nos perder):
-
Dados do problema (peguei todos no enunciado):
- Comprimento inicial da barra:
(a ). - Coeficiente de dilatação linear que depende da temperatura:
. -
. -
. - A barra é usada como pistão num cilindro adiabático que inicialmente está a
, contendo de gelo em equilíbrio com água. - O sistema é aquecido até que todo o gelo derreta e o sistema fique em equilíbrio final à temperatura
. - Calor latente de fusão do gelo:
. - Calor específico da água:
. - Calor específico da barra:
. - Densidade da barra:
.
- Comprimento inicial da barra:
-
O que o enunciado pede:
(a) Obter a expressão do comprimento final da barra em função da temperatura final, integrando.
(b) Determinar a massa da barra.
(c) Determinar a temperatura final da barra (que é a mesma do sistema) e, consequentemente, o comprimento final.
Observações importantes (para não perder ponto): o enunciado já afirma que a temperatura final do conjunto é
. Então, na parte (c) iremos usar esse valor para calcular o comprimento final. Para a massa (parte b) é preciso lembrar que massa = densidade × volume; para isso precisamos da área da secção transversal da barra — se essa área não for dada, só podemos dar a massa em função dela. Vou mostrar isso claramente.
Passo 2
Conceito básico e a equação diferencial que liga
e
(aulas mastigadas):
- Definição do coeficiente de dilatação linear dependente de
: por definição,
Isto significa que um incremento de temperatura
provoca um incremento relativo de comprimento
.
- Para obter
a partir de integrável, separamos variáveis e integramos de (temperatura inicial) até :
- A integral do lado esquerdo dá
. Logo a solução geral é
Essa é a fórmula exata: não estamos aproximando nada ainda. Em muitos exercícios usa-se a aproximação
porque
é pequeno, mas aqui vou manter a forma exponencial e depois mostrar a aproximação para comparar.
Passo 3
Integrando
entre a temperatura inicial
e uma temperatura qualquer
:
- Calcule a integral
- Substituindo na solução do passo anterior obtemos a expressão exata do comprimento em função de
:
- Comentário didático: se
(o que costuma acontecer, e de algumas dezenas de graus), podemos usar a aproximação de primeira ordem da exponencial:
Isso é útil para estimativas rápidas na prova.
Passo 4
Parte (b) — massa da barra (explicação e resultado):
- A massa
de um corpo homogêneo é . Para uma barra cilíndrica (pistão) o volume é , onde é a área da secção transversal (assumimos forma uniforme). - Portanto a massa é
- Como a área
da secção transversal NÃO foi fornecida no enunciado, NÃO é possível determinar um valor numérico absoluto para . O que podemos dar numericamente é a massa por unidade de área (uma forma útil quando não é conhecida):
- Conclusão prática (para a prova): escreva
e, se pedirem valor numérico, peça/assuma a área. Se for necessário, use .
Passo 5
Parte (c) — temperatura final e comprimento final (uso direto do enunciado e cálculo numérico):
- O enunciado já diz que a temperatura final de equilíbrio do sistema é
. Assim
- Agora usamos a expressão de
do passo 3 para . Primeiro calcule o argumento da exponencial:
Calcule por partes:
Logo
Multiplicando por
:
- Aplicando na expressão exponencial:
- Como o expoente é pequeno, dá para avaliar numericamente com precisão:
Logo, com
,
- Se preferir a aproximação linear simples (válida e suficiente em muitos exames):
que coincide praticamente com o valor exponencial acima.
Resposta
(a)
.
(b)
. Em particular
, portanto não é possível dar um valor numérico para
sem a área
.
(c)
.
.