Considere um campo elétrico uniforme \vec{E} e uma superfície (aberta) plana S, cuja orientação é definida por um vetor \hat{n}. O fluxo \Phi_{E}^{S} do campo elétrico por essa superfície é maior que zero.
Três alunos discutem sobre essa situação e fazem as seguintes afirmativas:
Aluno I: "O fluxo do campo elétrico \Phi_{E}^{S} tem o mesmo sentido do sentido do campo \vec{E} ".
Aluno II: "O ângulo entre o vetor campo elétrico \vec{E} e \hat{n} é maior que 0^{\circ} e menor que 90^{\circ} ".
Aluno III: "Para que o fluxo do campo elétrico seja positivo, deve haver uma partícula de carga positiva na vizinhança dessa superfície ".
Qual(is) aluno(s) estão correto(s)?
◯ a. Os três alunos estão corretos.
◯ b. Os alunos II e III estão corretos.
◯ c. Os alunos I e II estão corretos.
◯ d. Apenas o aluno II está correto.
◯ e. Apenas o aluno III está correto.
◯ f. Apenas o aluno I está correto.
◯ g. Nenhum dos alunos está correto.
◯ h. Os alunos I e III estão corretos.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • Há um campo elétrico uniforme \vec{E}.
  • Existe uma superfície aberta e plana S com orientação dada por um vetor unitário \hat{n}.
  • O fluxo do campo elétrico por essa superfície é positivo: \Phi_{E}^{S}>0.
O que se pede: analisar as três afirmativas dos alunos (I, II e III) e decidir quais estão corretas dadas as informações acima.

Passo 2

Definição e fórmula útil (a coisa-chave que vamos usar).
  • O fluxo elétrico através de uma superfície S é definido por
\Phi_{E}^{S}=\int_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}.
  • Para uma superfície plana de área A com vetor normal \hat{n} e campo uniforme \vec{E} a integral reduz-se a um produto simples:
\Phi_{E}^{S}=\vec{E}\cdot\vec{A}=EA\cos\theta,
onde E=|\vec{E}|, A é a área da superfície e \theta é o ângulo entre \vec{E} e \hat{n}.
Explicando termos:
  • \vec{A}=A\hat{n} é o vetor área (módulo igual à área, direção dada por \hat{n}).
  • O produto escalar \vec{E}\cdot\vec{A}=EA\cos\theta dá um escalar (número), que pode ser positivo, nulo ou negativo dependendo de \cos\theta.

Passo 3

O que significa \Phi_{E}^{S}>0 em termos do ângulo \theta.
  • Da fórmula \Phi_{E}^{S}=EA\cos\theta e sabendo E>0 e A>0, segue que \Phi_{E}^{S}>0 se e só se \cos\theta>0.
  • O valor de \theta entre dois vetores é convencionalmente tomado em [0^\circ,180^\circ]. Nessa convenção \cos\theta>0 ocorre quando
0^\circ\le \theta<90^\circ.
Observação importante: \theta=0^\circ (vetores perfeitamente paralelos no mesmo sentido) também dá \cos0^\circ=1 e, portanto, \Phi_{E}^{S}>0. Logo, a condição \Phi_{E}^{S}>0 permite \theta=0^\circ ou qualquer \theta estritamente entre 0^\circ e 90^\circ.

Passo 4

Análise da afirmativa do Aluno II.
  • O Aluno II disse: "O ângulo entre o vetor campo elétrico \vec{E} e \hat{n} é maior que 0^\circ e menor que 90^\circ". Isso equivale a afirmar 0^\circ<\theta<90^\circ.
  • Como vimos no Passo 3, \Phi_{E}^{S}>0 permite também \theta=0^\circ. Portanto a afirmação do Aluno II é demasiado restritiva: não é necessariamente verdadeira (há casos possíveis com \theta=0^\circ que dão fluxo positivo).
    Conclusão: o Aluno II não está necessariamente correto.

Passo 5

Análise da afirmativa do Aluno I.
  • O Aluno I disse: "O fluxo do campo elétrico \Phi_{E}^{S} tem o mesmo sentido do sentido do campo \vec{E}".
    Vamos esclarecer conceitos:
    • O fluxo \Phi_{E}^{S} é um escalar (um número), obtido pelo produto escalar \vec{E}\cdot\vec{A}. Como escalar, ele não tem “direção” vetorial no sentido que tem \vec{E}.
    • Pode-se dizer que um fluxo é “positivo” quando \vec{E} tem componente na direção de \hat{n}, e “negativo” quando a componente é no sentido oposto a \hat{n}. Mas isso não significa que o fluxo seja um vetor com o mesmo sentido de \vec{E}.
  • A frase do aluno I confunde sentido vetorial com o sinal escalar do fluxo. Por isso a afirmação está incorreta/enganosa.
    Conclusão: o Aluno I está incorreto.

Passo 6

Análise da afirmativa do Aluno III.
  • O Aluno III disse: “Para que o fluxo do campo elétrico seja positivo, deve haver uma partícula de carga positiva na vizinhança dessa superfície”.
  • Isso é falso por dois motivos principais:
    1. Fluxo positivo pode ocorrer apenas por geometria/orientação do campo e da superfície, mesmo sem nenhuma carga presente perto. Exemplo simples: campo uniforme \vec{E}=E\hat{z} no espaço vazio e uma superfície plana com \hat{n}=\hat{z} tem \Phi_{E}^{S}=EA>0 sem que exista nenhuma carga próxima.
    2. A relação entre fluxo e carga é dada pelo teorema de Gauss para superfícies fechadas:
    \oint_{\text{fechada}}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.Essa relação vale para superfícies fechadas e relaciona fluxo total com carga encerrada; não se pode inferir que um fluxo positivo através de uma superfície aberta exige carga positiva.
    Conclusão: o Aluno III está incorreto.

Passo 7

Resumo final e escolha da alternativa.
  • Aluno I: incorreto (fluxo é escalar; afirmação confusa).
  • Aluno II: incorreto como afirmação necessária, porque \theta=0^\circ também permite \Phi_{E}^{S}>0.
  • Aluno III: incorreto (fluxo positivo pode ocorrer sem carga próxima; Gauss é para superfície fechada).
    Portanto nenhum dos três alunos está correto.

Resposta

(g)

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