Considere um campo elétrico uniforme
e uma superfície (aberta) plana
, cuja orientação é definida por um vetor
. O fluxo
do campo elétrico por essa superfície é maior que zero.
Três alunos discutem sobre essa situação e fazem as seguintes afirmativas:
Aluno I: "O fluxo do campo elétrico
tem o mesmo sentido do sentido do campo
".
Aluno II: "O ângulo entre o vetor campo elétrico
e
é maior que
e menor que
".
Aluno III: "Para que o fluxo do campo elétrico seja positivo, deve haver uma partícula de carga positiva na vizinhança dessa superfície ".
Qual(is) aluno(s) estão correto(s)?
◯ a. Os três alunos estão corretos.
◯ b. Os alunos II e III estão corretos.
◯ c. Os alunos I e II estão corretos.
◯ d. Apenas o aluno II está correto.
◯ e. Apenas o aluno III está correto.
◯ f. Apenas o aluno I está correto.
◯ g. Nenhum dos alunos está correto.
◯ h. Os alunos I e III estão corretos.
◯ a. Os três alunos estão corretos.
◯ b. Os alunos II e III estão corretos.
◯ c. Os alunos I e II estão corretos.
◯ d. Apenas o aluno II está correto.
◯ e. Apenas o aluno III está correto.
◯ f. Apenas o aluno I está correto.
◯ g. Nenhum dos alunos está correto.
◯ h. Os alunos I e III estão corretos.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- Há um campo elétrico uniforme
. - Existe uma superfície aberta e plana
com orientação dada por um vetor unitário . - O fluxo do campo elétrico por essa superfície é positivo:
.
O que se pede: analisar as três afirmativas dos alunos (I, II e III) e decidir quais estão corretas dadas as informações acima.
Passo 2
Definição e fórmula útil (a coisa-chave que vamos usar).
- O fluxo elétrico através de uma superfície
é definido por
- Para uma superfície plana de área
com vetor normal e campo uniforme a integral reduz-se a um produto simples:
onde
,
é a área da superfície e
é o ângulo entre
e
.
Explicando termos:
Explicando termos:
-
é o vetor área (módulo igual à área, direção dada por ). - O produto escalar
dá um escalar (número), que pode ser positivo, nulo ou negativo dependendo de .
Passo 3
O que significa
em termos do ângulo
.
- Da fórmula
e sabendo e , segue que se e só se . - O valor de
entre dois vetores é convencionalmente tomado em . Nessa convenção ocorre quando
Observação importante:
(vetores perfeitamente paralelos no mesmo sentido) também dá
e, portanto,
. Logo, a condição
permite
ou qualquer
estritamente entre
e
.
Passo 4
Análise da afirmativa do Aluno II.
- O Aluno II disse: "O ângulo entre o vetor campo elétrico
e é maior que e menor que ". Isso equivale a afirmar . - Como vimos no Passo 3,
permite também . Portanto a afirmação do Aluno II é demasiado restritiva: não é necessariamente verdadeira (há casos possíveis com que dão fluxo positivo).
Conclusão: o Aluno II não está necessariamente correto.
Passo 5
Análise da afirmativa do Aluno I.
- O Aluno I disse: "O fluxo do campo elétrico
tem o mesmo sentido do sentido do campo ".
Vamos esclarecer conceitos:- O fluxo
é um escalar (um número), obtido pelo produto escalar . Como escalar, ele não tem “direção” vetorial no sentido que tem . - Pode-se dizer que um fluxo é “positivo” quando
tem componente na direção de , e “negativo” quando a componente é no sentido oposto a . Mas isso não significa que o fluxo seja um vetor com o mesmo sentido de .
- O fluxo
- A frase do aluno I confunde sentido vetorial com o sinal escalar do fluxo. Por isso a afirmação está incorreta/enganosa.
Conclusão: o Aluno I está incorreto.
Passo 6
Análise da afirmativa do Aluno III.
- O Aluno III disse: “Para que o fluxo do campo elétrico seja positivo, deve haver uma partícula de carga positiva na vizinhança dessa superfície”.
- Isso é falso por dois motivos principais:
- Fluxo positivo pode ocorrer apenas por geometria/orientação do campo e da superfície, mesmo sem nenhuma carga presente perto. Exemplo simples: campo uniforme
no espaço vazio e uma superfície plana com tem sem que exista nenhuma carga próxima. - A relação entre fluxo e carga é dada pelo teorema de Gauss para superfícies fechadas:
Essa relação vale para superfícies fechadas e relaciona fluxo total com carga encerrada; não se pode inferir que um fluxo positivo através de uma superfície aberta exige carga positiva.
Conclusão: o Aluno III está incorreto. - Fluxo positivo pode ocorrer apenas por geometria/orientação do campo e da superfície, mesmo sem nenhuma carga presente perto. Exemplo simples: campo uniforme
Passo 7
Resumo final e escolha da alternativa.
- Aluno I: incorreto (fluxo é escalar; afirmação confusa).
- Aluno II: incorreto como afirmação necessária, porque
também permite . - Aluno III: incorreto (fluxo positivo pode ocorrer sem carga próxima; Gauss é para superfície fechada).
Portanto nenhum dos três alunos está correto.
Resposta
(g)