Considere um campo elétrico uniforme
e uma superfície (aberta) plana
, cuja orientação é definida por um vetor
. O fluxo
do campo elétrico por essa superfície é menor que zero. Três alunos discutem sobre essa situação e fazem as seguintes afirmativas:
Aluno I: "O fluxo do campo elétrico
tem sentido contrário ao sentido do campo
". Aluno II: "O produto escalar
é negativo ". Aluno III: "Para que o fluxo do campo elétrico se negativo, deve haver uma partícula de carga negativa na vizinhança dessa superfície ".
Qual(is) aluno(s) estão correto(s)?
◯ a. Apenas o aluno III está correto.
◯ b. Os alunos II e III estão corretos.
◯ c. Nenhum dos alunos está correto.
◯ d. Os alunos I e III estão corretos.
◯ e. Apenas o aluno I está correto.
◯ f. Apenas o aluno II está correto.
◯ g. Os três alunos estão corretos.
◯ h. Os alunos I e II estão corretos.
◯ a. Apenas o aluno III está correto.
◯ b. Os alunos II e III estão corretos.
◯ c. Nenhum dos alunos está correto.
◯ d. Os alunos I e III estão corretos.
◯ e. Apenas o aluno I está correto.
◯ f. Apenas o aluno II está correto.
◯ g. Os três alunos estão corretos.
◯ h. Os alunos I e II estão corretos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para avaliar as três afirmativas dos alunos:
- Há um campo elétrico uniforme
. - Há uma superfície plana aberta
com orientação dada pelo vetor unitário . - O fluxo do campo elétrico por essa superfície é negativo, i.e.
.
As afirmações a serem julgadas são:
- Aluno I: “O fluxo do campo elétrico
tem sentido contrário ao sentido do campo .” - Aluno II: “O produto escalar
é negativo.” - Aluno III: “Para que o fluxo do campo elétrico seja negativo, deve haver uma partícula de carga negativa na vizinhança dessa superfície.”
Passo 2
Definição matemática do fluxo por uma superfície aberta e caso uniforme/plana.
A definição geral do fluxo elétrico por uma superfície
é
onde
é o vetor de área infinitesimal (módulo
e direção
). Aqui:
-
é o campo elétrico no ponto da superfície (vetor). -
é o vetor normal unitário que define a orientação da superfície. -
é um elemento de área (positivo).
Se o campo é uniforme e a superfície é plana, o integrando
é constante sobre
. Então o fluxo simplifica para
onde
é a área da superfície. Também podemos escrever usando o ângulo
entre
e
:
com
.
Expliquei cada símbolo para ficar bem claro:
é o ângulo medido do sentido de
até o vetor
;
pode ser positivo, zero ou negativo dependendo do ângulo.
Passo 3
Interpretação do fato
no caso uniforme e plano.
Como
e
, ter
implica necessariamente
Usando
, isso significa
, portanto o ângulo
está no intervalo
. Em palavras: a componente de
na direção de
é negativa — a projeção de
sobre
aponta no sentido oposto ao de
.
Importante conceitual: o fluxo é um número escalar (pode ser positivo, nulo ou negativo). Quando se diz que o fluxo é “negativo” isso significa que, com a orientação escolhida (vetor normal
), o campo atravessa a superfície no sentido oposto àquele que foi convencionado como positivo (o sentido de
). O fluxo em si não é um vetor com direção — é um escalar cujo sinal indica se a passagem do campo está alinhada ou anti-alinhada com a orientação.
Passo 4
Avaliação da afirmativa do Aluno II.
Da dedução acima temos diretamente que, para o caso dado (campo uniforme e superfície plana),
implica
Logo a afirmativa do Aluno II é correta.
Para torná-lo concreto, um exemplo numérico rápido: seja
,
e
. Então
fluxo negativo e
.
Passo 5
Avaliação da afirmativa do Aluno I.
Aluno I disse que "o fluxo
tem sentido contrário ao sentido do campo
". Isso é impreciso/errado por dois motivos:
- Matematicamente, o fluxo é um escalar, não um vetor; portanto não se atribui a ele um “sentido” no sentido vetorial. O que se pode dizer é que o fluxo é negativo quando a componente de
na direção do vetor normal é oposta à . - O que realmente é “contrário” ao campo, quando
, é a orientação escolhida : o campo atravessa a superfície no sentido oposto ao de . Não há sentido correto em afirmar que “o fluxo tem sentido contrário ao campo” — isso mistura conceitos (escalares vs vetores).
Portanto, por rigor conceitual, a afirmativa do Aluno I está incorreta.
Passo 6
Avaliação da afirmativa do Aluno III.
Aluno III afirma que, para o fluxo ser negativo, deve haver uma partícula de carga negativa na vizinhança da superfície. Essa afirmação é falsa. Justificativas:
- A relação entre fluxo e carga aparece através da Lei de Gauss somente para superfícies fechadas: para uma superfície fechada
vale
onde
é a carga total no interior da superfície fechada. Para superfícies abertas não existe essa igualdade direta com carga interna.
- Mesmo sem cargas próximas (por exemplo, campo uniforme produzido por cargas muito distantes ou por placas paralelas ideais), pode-se ter fluxo negativo simplesmente escolhendo a orientação
divergente do campo. O sinal do fluxo depende apenas da orientação relativa entre e , e não exige presença de carga local negativa. - Exemplo simples: campo uniforme
constante no espaço (sem cargas na vizinhança imediata) e superfície plana com apontando contra . O fluxo será negativo sem nenhuma carga próxima.
Logo a afirmativa do Aluno III é incorreta.
Passo 7
Conclusão final das verificações lógicas.
- Aluno I: incorreto (fluxo é escalar; o correto é dizer que a componente de
na direção é oposta à ). - Aluno II: correto (
segue diretamente de no caso uniforme e plano). - Aluno III: incorreto (fluxo negativo não implica existência de carga negativa próxima; superfícies abertas não estão vinculadas diretamente a cargas internas pela Lei de Gauss).
Portanto, apenas o Aluno II está correto.
Resposta
(f)