Considere um campo elétrico uniforme \vec{E} e uma superfície (aberta) plana S, cuja orientação é definida por um vetor \hat{n}. O fluxo \Phi_{E}^{S} do campo elétrico por essa superfície é menor que zero. Três alunos discutem sobre essa situação e fazem as seguintes afirmativas:
Aluno I: "O fluxo do campo elétrico \Phi_{E}^{S} tem sentido contrário ao sentido do campo \vec{E} ". Aluno II: "O produto escalar \vec{E} \cdot \hat{n} é negativo ". Aluno III: "Para que o fluxo do campo elétrico se negativo, deve haver uma partícula de carga negativa na vizinhança dessa superfície ".
Qual(is) aluno(s) estão correto(s)?
◯ a. Apenas o aluno III está correto.
◯ b. Os alunos II e III estão corretos.
◯ c. Nenhum dos alunos está correto.
◯ d. Os alunos I e III estão corretos.
◯ e. Apenas o aluno I está correto.
◯ f. Apenas o aluno II está correto.
◯ g. Os três alunos estão corretos.
◯ h. Os alunos I e II estão corretos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para avaliar as três afirmativas dos alunos:
  • Há um campo elétrico uniforme \vec{E}.
  • Há uma superfície plana aberta S com orientação dada pelo vetor unitário \hat{n}.
  • O fluxo do campo elétrico por essa superfície é negativo, i.e. \Phi_{E}^{S}<0.
As afirmações a serem julgadas são:
  • Aluno I: “O fluxo do campo elétrico \Phi_{E}^{S} tem sentido contrário ao sentido do campo \vec{E}.”
  • Aluno II: “O produto escalar \vec{E}\cdot\hat{n} é negativo.”
  • Aluno III: “Para que o fluxo do campo elétrico seja negativo, deve haver uma partícula de carga negativa na vizinhança dessa superfície.”

Passo 2

Definição matemática do fluxo por uma superfície aberta e caso uniforme/plana.
A definição geral do fluxo elétrico por uma superfície S é
\Phi_{E}^{S}=\int_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A},
onde d\vec{A}=\hat{n}\,dA é o vetor de área infinitesimal (módulo dA e direção \hat{n}). Aqui:
  • \vec{E} é o campo elétrico no ponto da superfície (vetor).
  • \hat{n} é o vetor normal unitário que define a orientação da superfície.
  • dA é um elemento de área (positivo).
Se o campo é uniforme e a superfície é plana, o integrando \vec{E}\cdot\hat{n} é constante sobre S. Então o fluxo simplifica para
\Phi_{E}^{S}=(\vec{E}\cdot\hat{n})\,A,
onde A é a área da superfície. Também podemos escrever usando o ângulo \theta entre \vec{E} e \hat{n}:
\Phi_{E}^{S}=EA\cos\theta,
com E=|\vec{E}|.
Expliquei cada símbolo para ficar bem claro: \theta é o ângulo medido do sentido de \hat{n} até o vetor \vec{E}; \cos\theta pode ser positivo, zero ou negativo dependendo do ângulo.

Passo 3

Interpretação do fato \Phi_{E}^{S}<0 no caso uniforme e plano.
Como \Phi_{E}^{S}=(\vec{E}\cdot\hat{n})A e A>0, ter \Phi_{E}^{S}<0 implica necessariamente
\vec{E}\cdot\hat{n}<0.
Usando \vec{E}\cdot\hat{n}=E\cos\theta, isso significa \cos\theta<0, portanto o ângulo \theta está no intervalo 90^\circ<\theta<270^\circ. Em palavras: a componente de \vec{E} na direção de \hat{n} é negativa — a projeção de \vec{E} sobre \hat{n} aponta no sentido oposto ao de \hat{n}.
Importante conceitual: o fluxo é um número escalar (pode ser positivo, nulo ou negativo). Quando se diz que o fluxo é “negativo” isso significa que, com a orientação escolhida (vetor normal \hat{n}), o campo atravessa a superfície no sentido oposto àquele que foi convencionado como positivo (o sentido de \hat{n}). O fluxo em si não é um vetor com direção — é um escalar cujo sinal indica se a passagem do campo está alinhada ou anti-alinhada com a orientação.

Passo 4

Avaliação da afirmativa do Aluno II.
Da dedução acima temos diretamente que, para o caso dado (campo uniforme e superfície plana), \Phi_{E}^{S}<0 implica
\vec{E}\cdot\hat{n}<0.
Logo a afirmativa do Aluno II é correta.
Para torná-lo concreto, um exemplo numérico rápido: seja E=5\\ \text{N/C}, A=2\\ \text{m}^2 e \theta=120^\circ. Então
\Phi_{E}^{S}=EA\cos\theta=5\cdot2\cdot\cos(120^\circ)=10\cdot(-\tfrac{1}{2})=-5,
fluxo negativo e \vec{E}\cdot\hat{n}=E\cos\theta=-2,5<0.

Passo 5

Avaliação da afirmativa do Aluno I.
Aluno I disse que "o fluxo \Phi_{E}^{S} tem sentido contrário ao sentido do campo \vec{E}". Isso é impreciso/errado por dois motivos:
  1. Matematicamente, o fluxo é um escalar, não um vetor; portanto não se atribui a ele um “sentido” no sentido vetorial. O que se pode dizer é que o fluxo é negativo quando a componente de \vec{E} na direção do vetor normal \hat{n} é oposta à \hat{n}.
  2. O que realmente é “contrário” ao campo, quando \Phi<0, é a orientação escolhida \hat{n}: o campo atravessa a superfície no sentido oposto ao de \hat{n}. Não há sentido correto em afirmar que “o fluxo tem sentido contrário ao campo” — isso mistura conceitos (escalares vs vetores).
Portanto, por rigor conceitual, a afirmativa do Aluno I está incorreta.

Passo 6

Avaliação da afirmativa do Aluno III.
Aluno III afirma que, para o fluxo ser negativo, deve haver uma partícula de carga negativa na vizinhança da superfície. Essa afirmação é falsa. Justificativas:
  • A relação entre fluxo e carga aparece através da Lei de Gauss somente para superfícies fechadas: para uma superfície fechada S_{\text{fech}} vale
\oint_{S_{\text{fech}}}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total no interior da superfície fechada. Para superfícies abertas não existe essa igualdade direta com carga interna.
  • Mesmo sem cargas próximas (por exemplo, campo uniforme produzido por cargas muito distantes ou por placas paralelas ideais), pode-se ter fluxo negativo simplesmente escolhendo a orientação \hat{n} divergente do campo. O sinal do fluxo depende apenas da orientação relativa entre \vec{E} e \hat{n}, e não exige presença de carga local negativa.
  • Exemplo simples: campo uniforme \vec{E}= constante no espaço (sem cargas na vizinhança imediata) e superfície plana com \hat{n} apontando contra \vec{E}. O fluxo será negativo sem nenhuma carga próxima.
Logo a afirmativa do Aluno III é incorreta.

Passo 7

Conclusão final das verificações lógicas.
  • Aluno I: incorreto (fluxo é escalar; o correto é dizer que a componente de \vec{E} na direção \hat{n} é oposta à \hat{n}).
  • Aluno II: correto ( \vec{E}\cdot\hat{n}<0 segue diretamente de \Phi_{E}^{S}<0 no caso uniforme e plano).
  • Aluno III: incorreto (fluxo negativo não implica existência de carga negativa próxima; superfícies abertas não estão vinculadas diretamente a cargas internas pela Lei de Gauss).
Portanto, apenas o Aluno II está correto.

Resposta

(f)

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