Uma barra fina, de comprimento L, está fixa sobre o eixo O X de um dado sistema de coordenadas com uma de suas extremidades na origem e a outra em x=L. Essa barra possui densidade linear de cargas variável, dada pela expressão \lambda=\lambda_{0}\left(1-\frac{2 x}{L}\right), \operatorname{com} \lambda_{0}>0 sendo uma constante. O que podemos afirmar sobre a carga total Q_{\text {tot }} contida na barra e o campo elétrico \vec{E}_{P} gerado pela barra em um ponto P situado na posição x=L / 2 e y=3 L ?
Escolha uma opção:
◯ Q_{\text {tot }}=0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido +\hat{x}.
◯ Q_{\text {tot }}<0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido -\hat{x}.
◯ Q_{t o t}>0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido -\hat{x}.
◯ Q_{t o t}=0 e \vec{E}_{P} é nulo.
◯ Q_{t o t}=0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido -\hat{x}.
◯ Q_{t o t}>0 e \vec{E}_{P} é nulo.
◯ Q_{t o t}<0 e \vec{E}_{P} é nulo.
◯ Q_{\text {tot }}<0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido +\hat{x}.
◯ Q_{t o t}>0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido +\hat{x}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
Barra fina fixa sobre o eixo O X com extremidades em x=0 e x=L.
Ponto P onde queremos o campo elétrico: P tem coordenadas x=\dfrac{L}{2}, y=3L.
O que é pedido:
Determinar a carga total Q_{\text{tot}} contida na barra.
Determinar a direção (sentido) do campo elétrico \vec{E}_{P} gerado pela barra em P (basta o sentido ao longo dos eixos).
Passo 2
Calcular a carga total Q_{\text{tot}} somando todas as contribuições ao longo da barra: integrar \lambda(x) de 0 até L. Escrevendo a integral e calculando:
Interpretação rápida: há regiões com carga positiva (próxima a x=0) e negativa (próxima a x=L) que se cancelam exatamente, resultando em carga total nula.
Passo 3
Agora determinar a direção de \vec{E}_{P}. Para uma distribuição linear de carga a contribuição do elemento de carga dq=\lambda(x')dx' localizado em x' para o campo em P é, pela lei de Coulomb para distribuição contínua,
Portanto \lambda é uma função ímpar em relação ao ponto médio: \lambda\big(\tfrac{L}{2}+u\big)=-\lambda\big(\tfrac{L}{2}-u\big). Isso significa que cargas positivas e negativas aparecem em posições simétricas em torno de x=\tfrac{L}{2}.
Passo 5
Analisar a componente vertical E_{y}. Considere um par de elementos simétricos à distância u do ponto médio: um em x'=\tfrac{L}{2}+u e outro em x'=\tfrac{L}{2}-u. Para ambos, a distância ao ponto P tem a mesma magnitude:
r=\sqrt{u^{2}+(3L)^{2}}.
As densidades nesses pontos são opostas: se \lambda_{+}=\lambda(\tfrac{L}{2}+u)=-\tfrac{2\lambda_{0}}{L}u, então \lambda_{-}=\lambda(\tfrac{L}{2}-u)=+\tfrac{2\lambda_{0}}{L}u. As contribuições ao componente y do campo são proporcionais a \lambda\cdot y_{P}/r^{3}. Somando as duas:
dE_{y}^{(+)}+dE_{y}^{(-)} \propto \frac{y_{P}}{r^{3}}\big(\lambda_{+}+\lambda_{-}\big)=\frac{y_{P}}{r^{3}}( -a u + a u)=0,
onde a=\tfrac{2\lambda_{0}}{L}. Logo, cada par simétrico dá contribuição nula para E_{y}. Como todos os pontos podem ser pareados assim, conclui-se que
E_{y}=0.
Passo 6
Agora analisar a componente horizontal E_{x}. Para o mesmo par de pontos, a contribuição de E_{x} de cada elemento é proporcional a \lambda(x')\,(x_{P}-x')/r^{3}. Para x'=\tfrac{L}{2}+u tem x_{P}-x'=-u; para x'=\tfrac{L}{2}-u tem x_{P}-x'=+u. Usando \lambda_{+}=-a u e \lambda_{-}=+a u,
\text{soma das contribuições } \propto \frac{1}{r^{3}}\big(\lambda_{-}\cdot u + \lambda_{+}\cdot(-u)\big) =\frac{1}{r^{3}}\big(a u\cdot u + (-a u)\cdot(-u)\big) =\frac{1}{r^{3}}\cdot 2a u^{2}.çõ
Observe que a>0 (porque \lambda_{0}>0) e u^{2}\ge 0, portanto a soma é positiva. Isso significa que cada par simétrico fornece uma contribuição positiva para E_{x} (isto é, no sentido +\hat{x}). Integrando todos os pares (ou seja, somando sobre todo o segmento) obtém-se um E_{x} total estritamente positivo. Em particular:
E_{x}>0,\qquad E_{y}=0.
Portanto o campo em P não é nulo e aponta no sentido +\hat{x}.
Passo 7
Conclusão física e resposta ao enunciado (com um comentário motivador): a barra tem carga total nula, mas não é neutra localmente: cargas positivas à esquerda e negativas à direita geram campos que não se cancelam em P; as componentes verticais se cancelam por simetria, enquanto as horizontais somam no sentido positivo. Isso dá a resposta final com confiança — boa; você conseguiu ver que carga total zero não garante campo nulo em qualquer ponto!
Resposta
Q_{\text{tot}}=0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido +\hat{x}.