Uma barra fina, de comprimento L, está fixa sobre o eixo O X de um dado sistema de coordenadas com uma de suas extremidades na origem e a outra em x=L. Essa barra possui densidade linear de cargas variável, dada pela expressão \lambda=\lambda_{0}\left(1-\frac{2 x}{L}\right), \operatorname{com} \lambda_{0}>0 sendo uma constante. O que podemos afirmar sobre a carga total Q_{\text {tot }} contida na barra e o campo elétrico \vec{E}_{P} gerado pela barra em um ponto P situado na posição x=L / 2 e y=3 L ?
Escolha uma opção:
Q_{\text {tot }}=0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido +\hat{x}.
Q_{\text {tot }}<0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido -\hat{x}.
Q_{t o t}>0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido -\hat{x}.
Q_{t o t}=0 e \vec{E}_{P} é nulo.
Q_{t o t}=0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido -\hat{x}.
Q_{t o t}>0 e \vec{E}_{P} é nulo.
Q_{t o t}<0 e \vec{E}_{P} é nulo.
Q_{\text {tot }}<0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido +\hat{x}.
Q_{t o t}>0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido +\hat{x}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Barra fina fixa sobre o eixo O X com extremidades em x=0 e x=L.
  • Densidade linear de carga variável:
\lambda(x)=\lambda_{0}\!\left(1-\frac{2x}{L}\right),\qquad \lambda_{0}>0.
  • Ponto P onde queremos o campo elétrico: P tem coordenadas x=\dfrac{L}{2}, y=3L.
    O que é pedido:
  • Determinar a carga total Q_{\text{tot}} contida na barra.
  • Determinar a direção (sentido) do campo elétrico \vec{E}_{P} gerado pela barra em P (basta o sentido ao longo dos eixos).

Passo 2

Calcular a carga total Q_{\text{tot}} somando todas as contribuições ao longo da barra: integrar \lambda(x) de 0 até L. Escrevendo a integral e calculando:
Q_{\text{tot}}=\int_{0}^{L}\lambda(x)\,dx =\int_{0}^{L}\lambda_{0}\!\left(1-\frac{2x}{L}\right)dx.
Efetuando a integração passo a passo:
Q_{\text{tot}}=\lambda_{0}\left[\int_{0}^{L}1\,dx-\frac{2}{L}\int_{0}^{L}x\,dx\right] =\lambda_{0}\left[ x\Big|_{0}^{L}-\frac{2}{L}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{L}\right].
Q_{\text{tot}}=\lambda_{0}\left[L-\frac{2}{L}\cdot\frac{L^{2}}{2}\right] =\lambda_{0}\left[L-\frac{L^{2}}{L}\right] =\lambda_{0}\left[L-L\right]=0.
Interpretação rápida: há regiões com carga positiva (próxima a x=0) e negativa (próxima a x=L) que se cancelam exatamente, resultando em carga total nula.

Passo 3

Agora determinar a direção de \vec{E}_{P}. Para uma distribuição linear de carga a contribuição do elemento de carga dq=\lambda(x')dx' localizado em x' para o campo em P é, pela lei de Coulomb para distribuição contínua,
d\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r^{2}}\hat{r} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\lambda(x')\,dx'}{\big[(x_{P}-x')^{2}+y_{P}^{2}\big]}\,\frac{\vec{r}}{r},
onde:
  • x' é a coordenada do elemento de carga na barra (variando de 0 a L);
  • x_{P}=\dfrac{L}{2} e y_{P}=3L são as coordenadas do ponto P;
  • \vec{r}=(x_{P}-x')\hat{x}+y_{P}\hat{y} é o vetor que vai do elemento ao ponto P;
  • r=\sqrt{(x_{P}-x')^{2}+y_{P}^{2}}.
    Assim, o campo total é
\vec{E}_{P}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{0}^{L}\lambda(x')\frac{(x_{P}-x')\hat{x}+y_{P}\hat{y}}{\big[(x_{P}-x')^{2}+y_{P}^{2}\big]^{3/2}}\,dx'.
Para decidir a direção, basta analisar os sinais das componentes E_{x} e E_{y}.

Passo 4

É útil explorar a simetria em torno do ponto médio x=\dfrac{L}{2}. Defino u=x'-\dfrac{L}{2} (deslocamento em relação ao ponto médio). Em termos de u:
\lambda(x')=\lambda\!\left(\frac{L}{2}+u\right) =\lambda_{0}\!\left(1-\frac{2}{L}\left(\frac{L}{2}+u\right)\right) =\lambda_{0}\!\left(1-1-\frac{2u}{L}\right) =-\frac{2\lambda_{0}}{L}\,u.
Portanto \lambda é uma função ímpar em relação ao ponto médio: \lambda\big(\tfrac{L}{2}+u\big)=-\lambda\big(\tfrac{L}{2}-u\big). Isso significa que cargas positivas e negativas aparecem em posições simétricas em torno de x=\tfrac{L}{2}.

Passo 5

Analisar a componente vertical E_{y}. Considere um par de elementos simétricos à distância u do ponto médio: um em x'=\tfrac{L}{2}+u e outro em x'=\tfrac{L}{2}-u. Para ambos, a distância ao ponto P tem a mesma magnitude:
r=\sqrt{u^{2}+(3L)^{2}}.
As densidades nesses pontos são opostas: se \lambda_{+}=\lambda(\tfrac{L}{2}+u)=-\tfrac{2\lambda_{0}}{L}u, então \lambda_{-}=\lambda(\tfrac{L}{2}-u)=+\tfrac{2\lambda_{0}}{L}u. As contribuições ao componente y do campo são proporcionais a \lambda\cdot y_{P}/r^{3}. Somando as duas:
dE_{y}^{(+)}+dE_{y}^{(-)} \propto \frac{y_{P}}{r^{3}}\big(\lambda_{+}+\lambda_{-}\big)=\frac{y_{P}}{r^{3}}( -a u + a u)=0,
onde a=\tfrac{2\lambda_{0}}{L}. Logo, cada par simétrico dá contribuição nula para E_{y}. Como todos os pontos podem ser pareados assim, conclui-se que
E_{y}=0.

Passo 6

Agora analisar a componente horizontal E_{x}. Para o mesmo par de pontos, a contribuição de E_{x} de cada elemento é proporcional a \lambda(x')\,(x_{P}-x')/r^{3}. Para x'=\tfrac{L}{2}+u tem x_{P}-x'=-u; para x'=\tfrac{L}{2}-u tem x_{P}-x'=+u. Usando \lambda_{+}=-a u e \lambda_{-}=+a u,
\text{soma das contribuições } \propto \frac{1}{r^{3}}\big(\lambda_{-}\cdot u + \lambda_{+}\cdot(-u)\big) =\frac{1}{r^{3}}\big(a u\cdot u + (-a u)\cdot(-u)\big) =\frac{1}{r^{3}}\cdot 2a u^{2}.çõ
Observe que a>0 (porque \lambda_{0}>0) e u^{2}\ge 0, portanto a soma é positiva. Isso significa que cada par simétrico fornece uma contribuição positiva para E_{x} (isto é, no sentido +\hat{x}). Integrando todos os pares (ou seja, somando sobre todo o segmento) obtém-se um E_{x} total estritamente positivo. Em particular:
E_{x}>0,\qquad E_{y}=0.
Portanto o campo em P não é nulo e aponta no sentido +\hat{x}.

Passo 7

Conclusão física e resposta ao enunciado (com um comentário motivador): a barra tem carga total nula, mas não é neutra localmente: cargas positivas à esquerda e negativas à direita geram campos que não se cancelam em P; as componentes verticais se cancelam por simetria, enquanto as horizontais somam no sentido positivo. Isso dá a resposta final com confiança — boa; você conseguiu ver que carga total zero não garante campo nulo em qualquer ponto!

Resposta

Q_{\text{tot}}=0 e \vec{E}_{P} aponta no sentido +\hat{x}.

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