Considere o campo escalar h(x, y) que representa a altitude de um terreno, dado por:
h(x, y)=50+2 x-y+0,1 x^{2}
a) Calcule o gradiente \nabla h(x, y).
b) Determine o gradiente no ponto P(10,5).
c) Explique fisicamente o que significa esse gradiente para um engenheiro civil analisando o terreno.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Temos o campo escalar que dá a altitude do terreno:
h(x,y)=50+2x-y+0,1x^{2}
O exercício pede:
  1. a) Calcular o gradiente \nabla h(x,y).
  2. b) Determinar o gradiente no ponto P(10,5).
  3. c) Explicar fisicamente o que esse gradiente significa para um engenheiro civil analisando o terreno.
As informações relevantes: a expressão de h(x,y) (já escrita acima) e o ponto P com coordenadas x=10, y=5. Nada mais é dado (por exemplo unidades não foram especificadas).

Passo 2

O que é o gradiente e como ele se interpreta — aula rápida e prática (sem pânico, eu explico devagar).
  • Definição: o gradiente de uma função escala h(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de h. Em fórmula:
\nabla h(x,y)=\left(\frac{\partial h}{\partial x},\;\frac{\partial h}{\partial y}\right).
  • Intuição geométrica/ física:
    • A componente \frac{\partial h}{\partial x} é a taxa de variação de h quando você varia x mantendo y fixo (ou seja, quanto a altitude muda por unidade em x).
    • A componente \frac{\partial h}{\partial y} é a taxa de variação de h quando você varia y mantendo x fixo.
    • O vetor \nabla h aponta na direção de subida mais rápida (direção de maior aumento de altitude). O seu módulo \|\nabla h\| diz quão íngreme é essa subida (a elevação por unidade de deslocamento nessa direção).
    • Em engenharia civil isso serve, por exemplo, para saber a direção que a água tenderá a escorrer (sentido oposto ao gradiente), qual a inclinação máxima local, e como alinhar estradas/canais.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais passo a passo (a matemática explícita, sem pular etapas).
A função é \displaystyle h(x,y)=50+2x-y+0,1x^{2}.
Derivada parcial em relação a x:
  • A derivada de 50 em relação a x é 0.
  • A derivada de 2x em relação a x é 2.
  • A derivada de -y em relação a x é 0 (porque y é tratado como constante).
  • A derivada de 0,1x^{2} em relação a x: usar regra de potência d(x^{2})/dx=2x, então d(0,1x^{2})/dx=0,1\cdot 2x=0,2x.
Somando:
\frac{\partial h}{\partial x}=2+0,2x.
Derivada parcial em relação a y:
  • A derivada de 50 em relação a y é 0.
  • A derivada de 2x em relação a y é 0 (agora x é constante).
  • A derivada de -y em relação a y é -1.
  • A derivada de 0,1x^{2} em relação a y é 0.
Logo:
\frac{\partial h}{\partial y}=-1.

Passo 4

Montar o gradiente com as componentes encontradas.
\nabla h(x,y)=\left(2+0,2x,\;-1\right).
Esse é o resultado simbólico pedido no item (a). (Se quiser, pense: a componente em x depende de x, a de y é constante.)

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto P(10,5) (item b), passo a passo numérico:
  • Substituir x=10 em \frac{\partial h}{\partial x}=2+0,2x:
\frac{\partial h}{\partial x}\Big|_{(10,5)}=2+0,2\cdot 10=2+2=4.
  • A componente em y é sempre -1, então
\frac{\partial h}{\partial y}\Big|_{(10,5)}=-1.
Portanto
\nabla h(10,5)=(4,\,-1).
Também é útil calcular o módulo e a direção unitária para interpretar intensidade e direção:
  • Módulo:
\|\nabla h(10,5)\|=\sqrt{4^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\approx 4,12.
  • Vetor unitário na direção de subida máxima:
\frac{\nabla h(10,5)}{\|\nabla h(10,5)\|}=\left(\frac{4}{\sqrt{17}},\;-\frac{1}{\sqrt{17}}\right).

Passo 6

Interpretação física didática e direta para você, engenheiro civil (item c) — sem enrolar:
  • O vetor \nabla h(10,5)=(4,-1) diz:
    • Se você andar uma unidade na direção positiva de x (mantendo y fixo) a altitude aumenta em aproximadamente 4 unidades. Em linguagem simples: \emph{deslocamento em x = subida de 4}.
    • Se você andar uma unidade na direção positiva de y (mantendo x fixo) a altitude diminui em 1 unidade (porque a componente é -1).
  • A direção de subida mais íngreme no ponto P é a direção do vetor (4,-1). A direção de descida mais íngreme (para onde a água tenderia a escorrer) é o vetor oposto (-4,1).
  • O módulo \sqrt{17}\approx 4,12 é a taxa de elevação por unidade de deslocamento nessa direção de subida máxima. Se x,y estiverem em metros e h em metros, isso significa cerca de 4,12 metros de elevação por metro horizontal nessa direção — muito íngreme (isso só é um exemplo numérico; verifique as unidades reais do seu projeto).
  • Aplicações práticas:
    • Para drenagem: a água escorre na direção de -\nabla h. Assim, em P a água tende a se mover na direção (-4,1).
    • Para cortes e aterros: as componentes informam quanto material é preciso mover se você se deslocar ao longo dos eixos x ou y.
    • Para traçado de estrada: se quer minimizar inclinação, evite alinhar o traçado na direção de \nabla h; se precisa de escoamento rápido, alinhe no sentido de descida.
  • Resumindo na prática: o gradiente fornece direção e intensidade da inclinação local — informação crucial para drenagem, estabilidade de taludes, projeto de rampas e acessos.

Resposta

a) \nabla h(x,y)=\left(2+0,2x,\;-1\right)
b) \nabla h(10,5)=(4,\,-1) com \|\nabla h(10,5)\|=\sqrt{17} e direção unitária \left(\dfrac{4}{\sqrt{17}},-\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)
c) O gradiente indica a direção de subida mais rápida e a taxa de variação da altitude: em P a subida máxima é na direção (4,-1) com intensidade \sqrt{17} (logo, a descida máxima — onde a água tende a correr — é em (-4,1)); a componente 4 diz que movendo-se uma unidade em x a altitude sobe 4, e a componente -1 diz que movendo-se uma unidade em y a altitude desce 1.

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