Considere o campo de escoamento dado por
V=(x^2+y t+2 z^1,5) imath+(x^3 t^2+y^2-z^2) jmath+(3 x^2 y t+y^4+2,5) k
( x, y e=em cm ; vem cm / s, tem s )
Determine:
a) O escoamento é permanente ou variado? (valor: 0,5 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo de escoamento com certas componentes de velocidade em função de $ x $, $ y $, $ z $ e $ t $ (tempo). Nosso objetivo aqui é descobrir se esse escoamento é permanente (ou estacionário) ou variedado (ou não estacionário). Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza um escoamento como permanente ou variado, ou seja, se as velocidades mudam ou não com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um escoamento ser permanente ou variedado:
  • Escoamento Permanente (Estacionário): As velocidades em todos os pontos do fluido não mudam com o tempo. Isso quer dizer que, apesar do fluido estar em movimento, as componentes de velocidade $ \vec{V} $ não dependem de $ t $.
  • Escoamento Variedado (Não Estacionário): As velocidades em pelo menos um ponto do fluido mudam com o tempo. Ou seja, pelo menos uma das componentes de $ \vec{V} $ depende de $ t $.

Passo 3

Vamos analisar as componentes da velocidade fornecidas:
V = (x^2 + y t + 2 z^1,5) imath + (x^3 t^2 + y^2 - z^2) jmath + (3 x^2 y t + y^4 + 2,5) k
Aqui, temos três componentes:
  1. $ V_x = x^{2} + y t + 2 z^{1,5} $
  2. $ V_y = x^{3} t^{2} + y^{2} - z^{2} $
  3. $ V_z = 3 x^{2} y t + y^{4} + 2,5 $

Passo 4

Agora, vamos verificar se alguma dessas componentes depende do tempo $ t $:
  • $ V_x $: Tem o termo $ y t $, que depende de $ t $.
  • $ V_y $: Tem o termo $ x^{3} t^{2} $, que depende de $ t $.
  • $ V_z $: Tem o termo $ 3 x^{2} y t $, que depende de $ t $.
Como todas as componentes $ V_x $, $ V_y $ e $ V_z $ possuem termos que dependem de $ t $, isso indica que as velocidades estão mudando com o tempo.

Passo 5

Portanto, como pelo menos uma das componentes da velocidade depende do tempo, concluímos que o escoamento é variedado.

Resposta

O escoamento é variedado.

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