Questão 6 ( 2 , 0 pontos). Um novo produto alimentício está sendo desenvolvido e a determinação da sua condutividade térmica é imprescindível. Um estagiário de engenharia química propõe um experimento na qual o alimento na forma cilíndrica é colocado num recipiente contendo água a 367,2 K. O produto tem dimensões de 5 polegadas de comprimento e 1 polegada de diâmetro. O estagiário posiciona um termopar no ponto médio da do alimento e outro termopar na superficie. A leitura inicial dos termopares era 293K, temperatura ambiente. Cento e sessenta segundos após o embutido estar mergulhado na água, os termopares registraram 332 K no centro e 350 K na superfície. Dados estimados do produto alimentício são estimados, como massa específica de 980 kg / m^3 e o calor específico 3900 J / kg ^circ C. Além de determinar a condutividade térmica do material, encontrar a difusividade térmica e o coeficiente convectivo de transferência de calor. Se o produto for considerado pronto para consumo quando a temperatura no centro atingir 363 K , quanto tempo levará para
ficar pronto? Se o embutido fosse considerado um cilindro curto, alguma diferença significativa nos valores seria notada? Explique o resultado obtido.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício de transferência de calor envolvendo um produto alimentício cilíndrico que está sendo testado para determinar sua condutividade térmica. Vamos precisar usar conceitos de condução de calor, difusividade térmica e transferência de calor por convecção. Além disso, vamos calcular o tempo necessário para que a temperatura no centro do produto atinja 363 K. Para isso, vamos utilizar fórmulas de condução de calor em cilindros, propriedades térmicas do material e as leis de transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cenário. Temos um cilindro de alimento com 5 polegadas de comprimento e 1 polegada de diâmetro, mergulhado em água a 367,2 K. Dois termopares medem a temperatura no centro e na superfície do cilindro. Inicialmente, ambos estavam a 293 K (temperatura ambiente). Após 160 segundos, as temperaturas eram 332 K no centro e 350 K na superfície.
Vamos precisar converter as dimensões para o sistema métrico para facilitar os cálculos:
  • Comprimento: 5 polegadas ≈ 0,127 metros
  • Diâmetro: 1 polegada ≈ 0,0254 metros
  • Raio ®: 0,0127 metros

Passo 3

Vamos utilizar a equação da condução de calor para um cilindro. A solução da equação de calor em coordenadas cilíndricas, assumindo condições de simetria e propriedades constantes, nos dá a temperatura em qualquer ponto ao longo do tempo. A equação da temperatura no centro do cilindro é dada por:
T(r=0, t) = Tinfty + (Ti - Tinfty) [ 1 - 4pi sumn=0^infty 12n+1 e^-D((2n+1)pi2L)^2 t ]
Onde:
  • $ T(r=0, t) $ é a temperatura no centro no tempo $ t $.
  • $ T_{\infty} $ é a temperatura da água (367,2 K).
  • $ T_i $ é a temperatura inicial (293 K).
  • $ D $ é a difusividade térmica.
  • $ L $ é o comprimento do cilindro.
Mas para simplificar, podemos usar a aproximação para tempo $ t $ significativo:
T(r=0, t)

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar a difusividade térmica $ D $. A difusividade térmica é dada por:
D
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica.
  • $ \rho $ é a massa específica (980 kg/m³).
  • $ c_p $ é o calor específico (3900 J/kg°C).
No entanto, ainda não conhecemos $ k $, então vamos precisar encontrar uma outra forma para determinar $ k $.

Passo 5

Vamos utilizar a diferença de temperatura entre a superfície e o centro após 160 segundos para determinar a condutividade térmica. A taxa de transferência de calor por condução no cilindro pode ser aproximada pela lei de Fourier para condução:
q = -k A dTdx
Mas para uma análise mais precisa, podemos usar a solução aproximada para o tempo e geometria dados. Considerando que a temperatura no centro está aumentando, podemos relacionar a mudança de temperatura com o tempo usando as propriedades do material.
Rearranjando a equação para $ k $:
k
Mas precisamos determinar a quantidade de calor $ Q $ transferida. Isso pode ser feito usando a energia necessária para aumentar a temperatura do cilindro.

Passo 6

A quantidade de calor $ Q $ necessária para aquecer o cilindro é:
Q
Onde:
  • $ V $ é o volume do cilindro.
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Calculando o volume $ V $:
Q = rho V cp De
Calculando $ Q $:
V
De

Passo 7

A área de superfície $ A $ do cilindro (incluindo as bases) é:
A
Agora, usando a equação de condução:
A = 2pi r L + 2pi r^2 = 2pi times 0,0127 times 0,127 + 2pi times (0,0127)^2 approx 0,0101 , m^2
Substituindo os valores:
k = Q LA De

Passo 8

Agora que temos $ k $, podemos calcular a difusividade térmica $ D $:
k ²

Passo 9

Para encontrar o coeficiente convectivo de transferência de calor $ h $, usamos a relação entre a transferência por condução e por convecção na superfície:
h
Sabemos que $ q = k A \frac{\Delta T}{L} $, então:
q = h A De
Substituindo os valores:
q = k A De²

Passo 10

Agora, vamos calcular o tempo necessário para que a temperatura no centro atinja 363 K. Usamos a equação da etapa anterior:
Tc(t) = Tinfty - (Tinfty - Ti) e^-D t pi^24 L^2
Queremos $ T_c(t) = 363 , K $:
Tc(t) = 363 , K
Resolvendo para $ t $:
363 = 367,2 - (367,2 - 293) e^-1,95 times 10^-6 times t times pi^24 times (0,127)^2
Aplicando o logaritmo natural:
t
Convertendo para minutos:
363 - 367,2 = -74,2 e^-1,95 times 10^-6 times t times pi^20,0644 -4,2 = -74,2 e^-1,95 times 10^-6 times t times 9,86960,0644 4,274,2 = e^-1,95 times 10^-6 times t times 9,86960,0644 0,0566 = e^-0,003 times t

Passo 11

Por último, se considerarmos o cilindro como sendo curto, ou seja, supondo que os efeitos das bordas são negligenciáveis e que a transferência de calor ocorre predominantemente no eixo central, a diferença nos valores de condutividade térmica e difusividade térmica não seria significativa. Isso porque a principal resistência térmica ainda está no material, e as bordas não influenciam muito o fluxo de calor no centro. Portanto, tratar o cilindro como curto não altera significativamente os resultados obtidos.

Resposta

A condutividade térmica do material é aproximadamente $ 7,46 , W/m·K $, a difusividade térmica é $ 1,95 \times 10^{-6} , m²/s $ e o coeficiente convectivo de transferência de calor é $ 58,7 , W/m²·K $. O tempo necessário para que a temperatura no centro atinja 363 K é de cerca de 16 minutos. Considerar o cilindro como curto não causa diferença significativa nos valores obtidos.

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