Considere o campo de escoamento dado na descrição euleriana pela expressão Btj em que e e as coordenadas estão em metros. Deduza as funções de posição lagrangiana para a partícula fluida que passou pelo ponto no instante . Obtenha uma expressão algébrica para a trajetória seguida por essa partícula . Trace a trajetória e compare com as linhas de corrente que passam por esse mesmo ponto nos instantes , 1 e 2 s .
Passo 1
O enunciado diz que temos um escoamento na descrição euleriana
com e , e queremos achar a posição lagrangiana da partícula que estava em no instante . Depois temos de eliminar para obter a equação algébrica da trajetória e, por fim, traçar essa curva comparando-a com as linhas de corrente (streamlines) que passam pelo mesmo ponto nos instantes s.
Conteúdo: cinemática de fluidos (formas euleriana vs. lagrangiana), integração de equações diferenciais ordinárias, definição de linhas de corrente. Vamos usar:
– Equações de movimento Lagrangeanas e .
– Integração direta para achar e .
– Definição de streamline em escoamento não permanente: .
Passo 2
Escrevendo componentes da velocidade:
u(x,y,t)=A=2, v(x,y,t)=B,t=0.6,t
As equações de movimento são dxdt=2, dydt=0.6,t,
com as condições iniciais x(0)=1 e y(0)=1.
Passo 3
Integramos ;dx/dt=2;:
x(t)=1+integral0^t2,dt'=1+2t
Passo 4
Agora integramos ;dy/dt=0.6,t;:
y(t)=1+integral0^t0.6,t',dt'=1+0.6t^22=1+0.3,t^2
Passo 5
Para eliminar o tempo e achar a equação algébrica da trajetória, isolamos
t=x-12
e substituímos em y(t):
$$y=1+0.3\Bigl(\frac{x-1}{2}\Bigr)^2
=1+0.075,(x-1)^2.$$
Passo 6
Linhas de corrente em escoamento não permanente, em um instante fixo t=t^*, satisfazem
dydx=vu=0.6,t^*2=0.3,t^*
Passando por (1,1), sua equação é y-1=0.3,t^*(x-1)
Nos instantes pedidos:
t^*=0: y=1 (reta horizontal).
t^*=1: y-1=0.3(x-1);Rightarrow;y=0.3x+0.7
t^*=2: y-1=0.6(x-1);Rightarrow;y=0.6x+0.4
Comparação: a trajetória que achamos é uma parábola y=1+0.075(x-1)^2, que coincide com a linha de corrente apenas em t=0, mas depois vai se afastando das retas dadas pelos diferentes instantes, pois o escoamento é não permanente.
Resposta
Funções de posição lagrangiana:
boxedx(t)=1+2t, y(t)=1+0.3,t^2
Equação algébrica da trajetória: boxedy=1+0.075,(x-1)^2