Considere o campo de escoamento dado na descrição euleriana pela expressão V=A i+ Btj em que A=2 m / s e B=0.6 m / s^2 e as coordenadas estão em metros. Deduza as funções de posição lagrangiana para a partícula fluida que passou pelo ponto (x0, y0)=(1,1) no instante t=0. Obtenha uma expressão algébrica para a trajetória seguida por essa partícula ( x0, y0 ). Trace a trajetória e compare com as linhas de corrente que passam por esse mesmo ponto nos instantes t=0, 1 e 2 s .

Passo 1

O enunciado diz que temos um escoamento na descrição euleriana
V(x,y,t)=A, i+B,t, j
com A=2rm,m/s e B=0.6rm,m/s^2, e queremos achar a posição lagrangiana (x(t),y(t)) da partícula que estava em (x0,y0)=(1,1) no instante t=0. Depois temos de eliminar t para obter a equação algébrica da trajetória e, por fim, traçar essa curva comparando-a com as linhas de corrente (streamlines) que passam pelo mesmo ponto nos instantes t=0,1,2,s.
Conteúdo: cinemática de fluidos (formas euleriana vs. lagrangiana), integração de equações diferenciais ordinárias, definição de linhas de corrente. Vamos usar:
– Equações de movimento Lagrangeanas dx/dt=u(x,y,t) e dy/dt=v(x,y,t).
– Integração direta para achar x(t) e y(t).
– Definição de streamline em escoamento não permanente: dy/dx=(v/u)|t=const.

Passo 2

Escrevendo componentes da velocidade:
u(x,y,t)=A=2, v(x,y,t)=B,t=0.6,t
As equações de movimento são
dxdt=2, dydt=0.6,t,
com as condições iniciais x(0)=1 e y(0)=1.

Passo 3

Integramos ;dx/dt=2;:
x(t)=1+integral0^t2,dt'=1+2t

Passo 4

Agora integramos ;dy/dt=0.6,t;:
y(t)=1+integral0^t0.6,t',dt'=1+0.6t^22=1+0.3,t^2

Passo 5

Para eliminar o tempo e achar a equação algébrica da trajetória, isolamos
t=x-12
e substituímos em y(t):
$$y=1+0.3\Bigl(\frac{x-1}{2}\Bigr)^2
=1+0.075,(x-1)^2.$$

Passo 6

Linhas de corrente em escoamento não permanente, em um instante fixo t=t^*, satisfazem
dydx=vu=0.6,t^*2=0.3,t^*
Passando por (1,1), sua equação é
y-1=0.3,t^*(x-1)
Nos instantes pedidos:
  • t^*=0: y=1 (reta horizontal).
  • t^*=1: y-1=0.3(x-1);Rightarrow;y=0.3x+0.7
  • t^*=2: y-1=0.6(x-1);Rightarrow;y=0.6x+0.4
Comparação: a trajetória que achamos é uma parábola y=1+0.075(x-1)^2, que coincide com a linha de corrente apenas em t=0, mas depois vai se afastando das retas dadas pelos diferentes instantes, pois o escoamento é não permanente.

Resposta

Funções de posição lagrangiana:
boxedx(t)=1+2t, y(t)=1+0.3,t^2
Equação algébrica da trajetória:
boxedy=1+0.075,(x-1)^2
Linhas de corrente pelo ponto (1,1):
  • t=0: y=1.
  • t=1: y=0.3x+0.7.
  • t=2: y=0.6x+0.4.

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