Considere o campo de escoamento dado pela função corrente Psi=10 x y+17. O escoamento é incompressível? O escoamento é irrotacional?
Resp.:
a) sim, b) sim

Passo 1

O enunciado nos dá a função corrente Psi(x,y)=10,x,y+17 de um escoamento bidimensional. Precisamos verificar (a) se o escoamento é incompressível (i.e.\ tem divergência nula) e (b) se é irrotacional (i.e.\ tem vorticidade nula). Para isso, vamos extrair o campo de velocidades a partir de Psi e calcular divergência e vorticidade.

Passo 2

Em escoamentos 2D a função corrente gera as componentes de velocidade segundo
u = partial Psipartial y, v = -,partial Psipartial x
Basta derivar Psi em relação a x e y.

Passo 3

Calculando as derivadas:
partial Psipartial y=10,xLongrightarrow u=10,x,
partial Psipartial x=10,yLongrightarrow v=-10,y
Logo o campo de velocidades é
u(x,y) = l(u,vr) = l(10x,,-10yr)

Passo 4

Para checar incompressibilidade, calculamos a divergência
nablacdotu =partial upartial x + partial vpartial y =10 + (-10) =0
Como nablacdotu=0, o escoamento é incompressível.

Passo 5

Para checar irrotacionalidade, calculamos a vorticidade (componente z em 2D)
omegaz =partial vpartial x - partial upartial y =0 - 0 =0
Como omegaz=0, o escoamento é irrotacional.

Resposta

a) sim
b) sim

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