Quais dos seguintes campos de velocidades correspondem a escoamentos incompressíveis:
v=-q / 2 pi r de<ar+K / 2 pi r de<atheta

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de velocidades em coordenadas polares bidimensionais
v = -q2pi r,de<ar + K2pi r,de<atheta
e pede para verificar se esse escoamento é incompressível. Para isso precisamos calcular a divergência em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares bidimensionais (r,theta), a divergência de um campo v=vr,de<ar+vtheta,de<atheta é
nabla!cdot!v =1r,partial (r,vr)partial r +1r,partial vthetapartial theta,

Passo 3

No nosso caso vr=-dfracq2pi r e vtheta=dfracK2pi r. Note que nenhum deles depende de theta, logo
partial vthetapartial theta=0
Além disso,
r,vr = rl(-q2pi rr)=-q2pi,
que é constante em r, então
partial (r,vr)partial r=0

Passo 4

Substituindo na fórmula da divergência:
nabla!cdot!v =1rcdot 0 + 1rcdot 0 = 0
Como nabla!cdot!v=0, o escoamento é incompressível.

Resposta

O campo
v=-q2pi r,de<ar+K2pi r,de<atheta
é incompressível.

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