Considerando um campo de velocidades dado por v=-2 x de<ax+(2 y+2) de<ay : (a) Existe potencial de velocidade para este escoamento? Em caso afirmativo determinar a sua expressão. (b) Determinar a expressão da função corrente para este escoamento.
Resp.:
a) sim, phi=x^2-y^2-2 y+C;
b) psi=-2 x(y+1)+C

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de velocidades
v=-2x,de<ax+(2y+2),de<ay
e pede:
(a) verificar se existe potencial de velocidade phi e, em caso afirmativo, encontrá-lo;
(b) determinar a função corrente psi.
Vamos usar os conceitos de escoamento irrotacional (para phi) e incompressível (para psi) e a definição de gradiente e de stream function em 2D.

Passo 2

Para existir potencial de velocidade o campo deve ser irrotacional. Em 2D, a componente z da vorticidade é
omegaz = partial vypartial x - partial vxpartial y = partial (2y+2)partial x - partial(-2x)partial y = 0 - 0 = 0
Como omegaz=0, o campo é irrotacional e admite potencial.

Passo 3

Adotamos a convenção
nablaphi = -,v
Então
partialphipartial x = -vx = 2x, partialphipartial y = -vy = -(2y+2)
Integrando a primeira em x:
phi(x,y) = integral 2x,dx = x^2 + f(y)
Derivando em y e igualando a partialphi/partial y:
ddy[x^2+f(y)] = f'(y) = -2y - 2 ;Longrightarrow; f(y) = -y^2 - 2y + C
Logo
phi(x,y) = x^2 - y^2 - 2y + C

Passo 4

Para existir função corrente psi o escoamento deve ser incompressível, isto é
nablacdotv = partial vxpartial x + partial vypartial y = -2 + 2 = 0
Como a divergência é nula, existe psi satisfazendo
partialpsipartial y = vx, -,partialpsipartial x = vy

Passo 5

Integramos
partialpsipartial y = -2x ;Longrightarrow; psi(x,y) = -2x,y + g(x)
Da outra condição,
-,partialpsipartial x = -l(-2y + g'(x)r) = 2y - g'(x) = 2y+2 ;Longrightarrow; g'(x) = -2 ;Longrightarrow; g(x) = -2x + C'
Logo
psi(x,y) = -2x(y+1) + C'

Resposta

a) phi = x^2 - y^2 - 2y + C
b) psi = -2x(y+1) + C

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